Uma máquina térmica opera entre uma fonte quente a 600 K e uma fonte fria a 300 K . A máquina recebe energia pela queima de um combustível cujo poder calorífico é 45 \mathrm{~kJ} \mathrm{~g}^{-1}. Em
operação real, sua eficiência corresponde a 60 \% da eficiência de Carnot. Sabendo que a máquina deve fornecer 18 MJ de trabalho por hora:
a) Calcule a eficiência de Carnot;
b) Calcule a quantidade de calor que deve ser fornecida à máquina por hora;
c) Calcule a massa de combustível que deve ser queimada por hora.
\left[\mathrm{R}=0,3 ; 60 \mathrm{MJ} \mathrm{h}^{-1} ; 1,33 \mathrm{~kg} \mathrm{~h}^{-1}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá estas informações e pede as coisas listadas a seguir (tudo pegado do enunciado):
  • Temperatura da fonte quente: \,T_h=600\\ \text{K}.
  • Temperatura da fonte fria: \,T_c=300\\ \text{K}.
  • Poder calorífico do combustível: \,45\\ \text{kJ}\,\text{g}^{-1}.
  • A máquina, em operação real, tem eficiência igual a 60\% da eficiência de Carnot.
  • A máquina deve fornecer de trabalho mecânico 18\\ \text{MJ} por hora (ou seja, 18\\ \text{MJ}\\ \text{h}^{-1}).
O enunciado pede:
(a) calcular a eficiência de Carnot;
(b) calcular a quantidade de calor que deve ser fornecida à máquina por hora;
(c) calcular a massa de combustível a queimar por hora.

Passo 2

Entender o que é eficiência de Carnot e como calculá-la (aula curta e clara).
  • A eficiência de uma máquina térmica é definida como a razão entre o trabalho útil extraído W e o calor recebido da fonte quente Q_h:
\eta=\frac{W}{Q_h}.
  • A eficiência máxima possível entre duas fontes térmicas é a eficiência de Carnot, dada por
\eta_C=1-\frac{T_c}{T_h},
onde T_h e T_c são as temperaturas absolutas (Kelvin) da fonte quente e fria, respectivamente. É crucial usar Kelvin para essa fórmula, porque ela vem da termodinâmica e só vale com temperaturas absolutas.
Agora aplicamos a fórmula com os valores dados (a conta será feita no próximo passo).

Passo 3

Calcular a eficiência de Carnot (aplicando a fórmula e mostrando cada passo).
\eta_C=1-\frac{T_c}{T_h}=1-\frac{300}{600}.
Calcular a fração:
\frac{300}{600}=0,5.
Portanto
\eta_C=1-0,5=0,5.
Interpretação: a eficiência de Carnot é \,0,5, ou seja 50\%.

Passo 4

Determinar a eficiência real da máquina (já que ela opera a 60\% da eficiência de Carnot).
  • Se a máquina real tem 60\% de \eta_C, então
\eta_{\text{real}}=0,60\cdot\eta_C.
Substituindo \eta_C=0,5:
\eta_{\text{real}}=0,60\cdot 0,5=0,30.
Interpretação: a eficiência real é \,0,30 ou 30\%. Isso significa que, de cada 1 unidade de calor fornecida, 0,30 vira trabalho e 0,70 é rejeitado para a fonte fria.

Passo 5

Relacionar trabalho exigido com o calor de entrada e calcular o calor que deve ser fornecido por hora.
  • A definição de eficiência dá a relação entre trabalho por hora W e calor por hora Q_h:
\eta_{\text{real}}=\frac{W}{Q_h}\quad\Longrightarrow\quad Q_h=\frac{W}{\eta_{\text{real}}}.
  • Substituir W=18\\ \text{MJ}\\ \text{h}^{-1} e \eta_{\text{real}}=0,30:
Q_h=\frac{18\\ \text{MJ}}{0,30}.
Fazer a divisão (mostrando passo a passo): dividir por 0,30 é o mesmo que multiplicar por \dfrac{1}{0,30}=\dfrac{100}{30}=\dfrac{10}{3}. Então
Q_h=18\cdot\frac{1}{0,30}=18\cdot\frac{10}{3}=18\cdot 3{,}333\ldots=60\\ \text{MJ}.
Portanto a máquina precisa receber \,60\\ \text{MJ} de calor por hora, ou \,60\\ \text{MJ}\\ \text{h}^{-1}.

Passo 6

Calcular a massa de combustível necessária por hora (conversões e contas explícitas).
  • O poder calorífico dado é \,45\\ \text{kJ}\,\text{g}^{-1}. Vamos transformar isso em uma unidade mais conveniente: energia por quilograma.
45\\ \text{kJ}\,\text{g}^{-1} = 45\\ \text{kJ}\times 1000\\ \text{g}\,\text{kg}^{-1}=45\,000\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}.
Como 1\\ \text{MJ}=1000\\ \text{kJ}, então
45\,000\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}=45\\ \text{MJ}\,\text{kg}^{-1}.
Portanto o combustível libera \,45\\ \text{MJ} por quilograma queimado.
  • Já sabemos que a máquina precisa de Q_h=60\\ \text{MJ} por hora. A massa por hora m é
m=\frac{Q_h}{\text{energia por kg}}=\frac{60\\ \text{MJ}}{45\\ \text{MJ}\,\text{kg}^{-1}}.
Fazendo a divisão:
m=\frac{60}{45}=1{,}333\ldots\\ \text{kg}\\ \text{h}^{-1}.
Arredondando com duas casas decimais (ou deixando três algarismos significativos), obtemos m\approx1{,}33\\ \text{kg}\\ \text{h}^{-1}.
  • Alternativa em gramas (checando): em kJ,
Q_h=60\\ \text{MJ}=60\,000\\ \text{kJ},
e como o combustível fornece 45\\ \text{kJ} por grama,
m=\frac{60\,000\\ \text{kJ}}{45\\ \text{kJ}\,\text{g}^{-1}}=1\,333{,}33\\ \text{g}=1{,}333{,}33\\ \text{kg},
o que confirma o resultado anterior.

Passo 7

Resumindo as respostas (para conferir tudo junto):
  • (a) \eta_C=0,5 (ou 50\%).
  • (b) Q_h=60\\ \text{MJ}\\ \text{h}^{-1}.
  • (c) m\approx1{,}33\\ \text{kg}\\ \text{h}^{-1}.

Resposta

(a) \eta_C=0,5
(b) Q_h=60\\ \text{MJ}\\ \text{h}^{-1}
(c) m=1{,}33\\ \text{kg}\\ \text{h}^{-1}

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