Um recipiente contém 6 moléculas distinguíveis de um gás ideal que podem ocupar dois compartimentos de mesmo volume, A e B .
Determine o número de microestados e a entropia para a situação em que todas as 6 moléculas estão no compartimento A. Explique qual distribuição é mais provável e por quê.
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Determine o número de microestados e a entropia para a situação em que todas as 6 moléculas estão no compartimento A. Explique qual distribuição é mais provável e por quê.
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Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Há
moléculas distinguíveis de um gás ideal. - Existem dois compartimentos de mesmo volume:
e . - Cada molécula pode ocupar
ou (duas opções por molécula).
- Há
- O que o enunciado pede:
- Determinar o número de microestados para a situação em que todas as
moléculas estão no compartimento . - Determinar a entropia correspondente a essa situação.
- Explicar qual distribuição (quantidade de moléculas em
versus ) é mais provável e por quê.
- Determinar o número de microestados para a situação em que todas as
Passo 2
Contagem de microestados: explicação e fórmula.
- Cada molécula é distinguível e tem duas opções independentes:
ou . - Portanto o número total de microestados possíveis do sistema inteiro (sem fixar uma macroconfiguração) é
porque são
escolhas por molécula, multiplicadas para as
moléculas.
- Para um macroestado em que exatamente
moléculas estão em (e, portanto, em ), o número de microestados compatíveis é dado pelo coeficiente binomial
pois escolhe-se quais
dentre as
distintas ficam em
.
- Em particular, para a situação "todas as
moléculas em " temos e
Isto significa que há exatamente um microestado onde cada molécula está em
(a microconfiguração que coloca cada molécula em
).
Passo 3
Entropia: formula e cálculo para o caso todas em
.
- A definição de Boltzmann para a entropia de um macroestado é
onde
é a constante de Boltzmann e
é o número de microestados compatíveis com o macroestado.
- Aplicando ao nosso caso com
:
- Interpretação física didática: a entropia é uma medida do número de maneiras microscopicamente distintas de realizar a mesma macroconfiguração. Se só existe uma maneira, a entropia (medida dessa “incerteza/multiplicidade”) é zero.
Passo 4
Probabilidades dos macrostados e comparação entre eles (qual é mais provável).
- Como as microconfigurações (microestados) são equiprováveis e há
microestados no total, a probabilidade de ocorrer um macroestado com exatamente moléculas em é
- Para o caso "todas em
" ( ) temos
- Para comparar, calcule o
que maximiza . A sequência é
O valor máximo é
, então o macroestado mais provável é
(três moléculas em
e três em
).
- A probabilidade dessa distribuição mais provável é
- Observação prática (intuição): há muito mais maneiras diferentes (20 microestados) de ter 3 em
e 3 em do que a única maneira de ter todas em . Por isso a configuração balanceada é muito mais provável.
Passo 5
Entropia do macroestado mais provável e comparação com o caso todas em
.
- Entropia para
:
- Comparação:
e . Macrostados com maior multiplicidade têm maior entropia e são mais prováveis.
Resposta
Número de microestados:
Entropia:
Distribuição mais provável: moléculas em
e
em
(porque
é o maior coeficiente binomial, dando
).
Entropia:
Distribuição mais provável: