Um recipiente contém 6 moléculas distinguíveis de um gás ideal que podem ocupar dois compartimentos de mesmo volume, A e B .
Determine o número de microestados e a entropia para a situação em que todas as 6 moléculas estão no compartimento A. Explique qual distribuição é mais provável e por quê.
([ \mathrm{R}=0])

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • 6 moléculas distinguíveis de um gás ideal.
    • Existem dois compartimentos de mesmo volume: A e B.
    • Cada molécula pode ocupar A ou B (duas opções por molécula).
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar o número de microestados para a situação em que todas as 6 moléculas estão no compartimento A.
    2. Determinar a entropia correspondente a essa situação.
    3. Explicar qual distribuição (quantidade de moléculas em A versus B) é mais provável e por quê.

Passo 2

Contagem de microestados: explicação e fórmula.
  • Cada molécula é distinguível e tem duas opções independentes: A ou B.
  • Portanto o número total de microestados possíveis do sistema inteiro (sem fixar uma macroconfiguração) é
2^6,
porque são 2 escolhas por molécula, multiplicadas para as 6 moléculas.
  • Para um macroestado em que exatamente n moléculas estão em A (e, portanto, 6-n em B), o número de microestados compatíveis é dado pelo coeficiente binomial
\Omega(n)=\binom{6}{n},
pois escolhe-se quais n dentre as 6 distintas ficam em A.
  • Em particular, para a situação "todas as 6 moléculas em A" temos n=6 e
\Omega(6)=\binom{6}{6}=1.
Isto significa que há exatamente um microestado onde cada molécula está em A (a microconfiguração que coloca cada molécula em A).

Passo 3

Entropia: formula e cálculo para o caso todas em A.
  • A definição de Boltzmann para a entropia de um macroestado é
S = k_B \ln \Omega,
onde k_B é a constante de Boltzmann e \Omega é o número de microestados compatíveis com o macroestado.
  • Aplicando ao nosso caso com \Omega(6)=1:
S = k_B \ln 1 = k_B \cdot 0 = 0.
  • Interpretação física didática: a entropia é uma medida do número de maneiras microscopicamente distintas de realizar a mesma macroconfiguração. Se só existe uma maneira, a entropia (medida dessa “incerteza/multiplicidade”) é zero.

Passo 4

Probabilidades dos macrostados e comparação entre eles (qual é mais provável).
  • Como as microconfigurações (microestados) são equiprováveis e há 2^6 microestados no total, a probabilidade de ocorrer um macroestado com exatamente n moléculas em A é
P(n)=\frac{\Omega(n)}{2^6}=\frac{\binom{6}{n}}{64}.
  • Para o caso "todas em A" ( n=6) temos
P(6)=\frac{1}{64}\approx 0,015625.
  • Para comparar, calcule o n que maximiza \binom{6}{n}. A sequência \binom{6}{0},\binom{6}{1},\dots,\binom{6}{6} é
1,\;6,\;15,\;20,\;15,\;6,\;1.
O valor máximo é \binom{6}{3}=20, então o macroestado mais provável é n=3 (três moléculas em A e três em B).
  • A probabilidade dessa distribuição mais provável é
P(3)=\frac{20}{64}= \frac{5}{16}=0,3125.
  • Observação prática (intuição): há muito mais maneiras diferentes (20 microestados) de ter 3 em A e 3 em B do que a única maneira de ter todas em A. Por isso a configuração balanceada é muito mais provável.

Passo 5

Entropia do macroestado mais provável e comparação com o caso todas em A.
  • Entropia para n=3:
S(3)=k_B \ln \Omega(3)=k_B \ln 20 \approx 2{,}9957\,k_B \approx 2{,}996\,k_B.
  • Comparação: S(6)=0 e S(3)\approx 2{,}996\,k_B. Macrostados com maior multiplicidade têm maior entropia e são mais prováveis.

Resposta

Número de microestados: \Omega(6)=1
Entropia: S = k_B \ln 1 = 0
Distribuição mais provável: 3 moléculas em A e 3 em B (porque \binom{6}{3}=20 é o maior coeficiente binomial, dando P(3)=20/64=0,3125).

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