Num recipiente, misturam-se 1 -y mols de nitrogênio, 3(1-y) mols de hidrogênio e 2 y+1 mols de amônia a 25^{\circ} \mathrm{C}. Assumindo o comportamento ideal:
a) Encontre a expressão para calcular a variação de entropia dessa mistura de gases.
b) Calcule a variação de entropia de mistura com a expressão encontrada no item a), considerando que y=0. \left[R=39,5 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) encontrar uma expressão para a variação de entropia da mistura de gases ideais formada por nitrogênio, hidrogênio e amônia, quando as quantidades são n_{\mathrm{N_2}}=1-y, n_{\mathrm{H_2}}=3(1-y) e n_{\mathrm{NH_3}}=2y+1, à temperatura 25^\circ\mathrm{C}.
  • (b) calcular numericamente essa variação de entropia de mistura para o caso y=0, usando R=39{,}5\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
Informações relevantes dadas:
  • n_{\mathrm{N_2}}=1-y.
  • n_{\mathrm{H_2}}=3(1-y)=3-3y.
  • n_{\mathrm{NH_3}}=2y+1.
  • Temperatura fixa ( 25^\circ\mathrm{C}), comportamento ideal dos gases.
  • Constante dos gases R=39{,}5\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.

Passo 2

Ideia física e fórmula básica: para gases ideais, a entropia aumenta quando um gás se expande isoterma e reversivelmente de um volume V_i para V_f segundo
\Delta S_i = n_i R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),
onde n_i é o número de mols do componente i. No processo de mistura ideal padrão, cada gás passa de ocupar seu volume inicial V_i (quando estava separado) para ocupar o volume total V do recipiente (após a mistura). Se os gases iniciais estavam todos à mesma temperatura e pressão e ocupavam volumes proporcionais às suas quantidades, então V_i = x_i V, onde x_i é a fração molar de i. Portanto a variação de entropia do componente i ao misturar é
\Delta S_i = n_i R \ln\!\left(\frac{V}{V_i}\right) = n_i R \ln\!\left(\frac{V}{x_i V}\right) = n_i R \ln\!\left(\frac{1}{x_i}\right) = -n_i R \ln x_i.
Somando todos os componentes obtemos a variação total de entropia de mistura:
\Delta S_{\text{mistura}} = -R\sum_i n_i \ln x_i.
Aqui x_i é a fração molar de i: x_i = \dfrac{n_i}{n_{\text{tot}}}. Essa é a fórmula padrão da entropia de mistura de gases ideais.

Passo 3

Calcular o número total de mols n_{\text{tot}} em função de y:
n_{\text{tot}} = n_{\mathrm{N_2}} + n_{\mathrm{H_2}} + n_{\mathrm{NH_3}} = (1-y) + (3-3y) + (2y+1).
Somando termos:
n_{\text{tot}} = 1 - y + 3 - 3y + 2y + 1 = 5 - 2y.

Passo 4

Escrever as frações molares x_i usando n_{\text{tot}}=5-2y:
x_{\mathrm{N_2}}=\dfrac{1-y}{5-2y},\qquad x_{\mathrm{H_2}}=\dfrac{3-3y}{5-2y},\qquad x_{\mathrm{NH_3}}=\dfrac{2y+1}{5-2y}.

Passo 5

Substituir n_i e x_i na fórmula geral \Delta S_{\text{mistura}} = -R\sum_i n_i \ln x_i. Assim obtemos a expressão pedida (a):
\Delta S_{\text{mistura}} = -R\Bigg[(1-y)\ln\!\left(\frac{1-y}{5-2y}\right) + (3-3y)\ln\!\left(\frac{3-3y}{5-2y}\right) + (2y+1)\ln\!\left(\frac{2y+1}{5-2y}\right)\Bigg].

Passo 6

Agora parte (b): calcular numericamente para y=0. Primeiro obter n_i e n_{\text{tot}} em y=0:
n_{\mathrm{N_2}}=1,\qquad n_{\mathrm{H_2}}=3,\qquad n_{\mathrm{NH_3}}=1,
n_{\text{tot}}=5.
Fração molar:
x_{\mathrm{N_2}}=\dfrac{1}{5},\qquad x_{\mathrm{H_2}}=\dfrac{3}{5},\qquad x_{\mathrm{NH_3}}=\dfrac{1}{5}.

Passo 7

Montar a soma na fórmula:
\Delta S_{\text{mistura}}(y=0) = -R\left[1\cdot\ln\!\left(\frac{1}{5}\right) + 3\cdot\ln\!\left(\frac{3}{5}\right) + 1\cdot\ln\!\left(\frac{1}{5}\right)\right].
Reorganizando:
\Delta S_{\text{mistura}}(y=0) = -R\left[2\ln\!\left(\frac{1}{5}\right) + 3\ln\!\left(\frac{3}{5}\right)\right].
Calcular os logaritmos naturais (valores numéricos):
\ln\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=\ln(0{,}2)\approx -1{,}609437912, \qquad \ln\!\left(\tfrac{3}{5}\right)=\ln(0{,}6)\approx -0{,}510825624.
Somando os termos do colchete:
2\cdot(-1{,}609437912)+3\cdot(-0{,}510825624)\approx -4{,}751352695.
Multiplicando por -R com R=39{,}5\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}, o fator a multiplicar por R é 4{,}751352695. O produto final numérico será apresentado abaixo.

Resposta

\displaystyle \Delta S_{\text{mistura}} = -R\Big[(1-y)\ln\!\left(\frac{1-y}{5-2y}\right)+(3-3y)\ln\!\left(\frac{3-3y}{5-2y}\right)+(2y+1)\ln\!\left(\frac{2y+1}{5-2y}\right)\Big]\n
\displaystyle \Delta S_{\text{mistura}}(y=0)=187{,}7\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}

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