Em uma fábrica, cada produto fabricado tem \mathbf{5} \boldsymbol{\%} de chance de estar com defeito. Escolhe-se um produto ao acaso para inspeção. Seja a variável aleatória X definida como:
X=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { se o produto estiver com defeito, } \\\\ 0, \text { se o produto estiver sem defeito } \end{array}\right.
Com base nestas informações:
a) Identifique a distribuição de X e seu parâmetro.
b) Calcule a probabilidade de o produto estar com defeito, \mathrm{P}(\mathrm{X}=1), e a probabilidade de não estar com defeito, \mathrm{P}(\mathrm{X}=0).
c) Calcule a Esperança E(X) e a Variância \operatorname{Var}(X) da variável aleatória X.
Passo 1
O enunciado diz que numa fábrica cada produto tem 5\%\) de chance de estar com defeito. Foi escolhido um produto ao acaso e definida a variável aleatória \(X\) por:
\[X=\begin{cases} 1, & \text{se o produto estiver com defeito,}\\[4pt] 0, & \text{se o produto estiver sem defeito.} \end{cases}
As perguntas são:
a) Identificar a distribuição de X\] e seu parâmetro.
b) Calcular \(\mathrm{P}(X=1) e \mathrm{P}(X=0).
c) Calcular a Esperança E(X) e a Variância \operatorname{Var}(X).]
Passo 2
Identificação da distribuição e explicação do parâmetro.
Quando uma variável aleatória só pode assumir os valores 0 ou 1 e a probabilidade de 1 é p, dizemos que ela segue a distribuição Bernoulli com parâmetro p. A função massa de probabilidade (pmf) da Bernoulli é
Interpretação: a variância mede a dispersão da indicação de defeito; aqui vale 0,0475 (unidade em termos de indicador 0/1).
Passo 6
Pequeno reforço com exemplo: se, noutra fábrica, p=0,20 (20%), então E(X)=0,20 e \operatorname{Var}(X)=0,20\cdot0,80=0,16. Isso ajuda a ver a fórmula p(1-p) na prática. Força — isso é exatamente o que costuma cair na prova: reconhecer Bernoulli, escrever pmf, calcular p, 1-p, E(X)=p e \operatorname{Var}(X)=p(1-p).
Resposta
a) X\sim\text{Bernoulli}(p=0,05).
b) \mathrm{P}(X=1)=0,05,\quad \mathrm{P}(X=0)=0,95.
c) E(X)=0,05,\quad \operatorname{Var}(X)=0,0475.