Em uma fábrica, cada produto fabricado tem \mathbf{5} \boldsymbol{\%} de chance de estar com defeito. Escolhe-se um produto ao acaso para inspeção. Seja a variável aleatória X definida como:
X=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { se o produto estiver com defeito, } \\\\ 0, \text { se o produto estiver sem defeito } \end{array}\right.
Com base nestas informações:
a) Identifique a distribuição de X e seu parâmetro.
b) Calcule a probabilidade de o produto estar com defeito, \mathrm{P}(\mathrm{X}=1), e a probabilidade de não estar com defeito, \mathrm{P}(\mathrm{X}=0).
c) Calcule a Esperança E(X) e a Variância \operatorname{Var}(X) da variável aleatória X.

Passo 1

O enunciado diz que numa fábrica cada produto tem 5\%\) de chance de estar com defeito. Foi escolhido um produto ao acaso e definida a variável aleatória \(X\) por: \[X=\begin{cases} 1, & \text{se o produto estiver com defeito,}\\[4pt] 0, & \text{se o produto estiver sem defeito.} \end{cases}
As perguntas são:
a) Identificar a distribuição de X\] e seu parâmetro. b) Calcular \(\mathrm{P}(X=1) e \mathrm{P}(X=0).
c) Calcular a Esperança E(X) e a Variância \operatorname{Var}(X).]

Passo 2

Identificação da distribuição e explicação do parâmetro.
Quando uma variável aleatória só pode assumir os valores 0 ou 1 e a probabilidade de 1 é p, dizemos que ela segue a distribuição Bernoulli com parâmetro p. A função massa de probabilidade (pmf) da Bernoulli é
\mathrm{P}(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x},\quad x\in\{0,1\}.
Aqui o enunciado diz que a chance de defeito é 5\%, isto é, p=0,05. Portanto X tem distribuição Bernoulli com parâmetro p=0,05.

Passo 3

Cálculo das probabilidades individuais usando a pmf da Bernoulli.
Pelo significado de p,
\mathrm{P}(X=1)=p.
Substituindo p=0,05,
\mathrm{P}(X=1)=0,05.
A probabilidade complementar de X=0 é 1-p, logo
\mathrm{P}(X=0)=1-p=1-0,05=0,95.

Passo 4

Fórmula e cálculo da esperança E(X).
A definição de esperança para uma variável discreta é a soma dos valores ponderados pelas probabilidades:
E(X)=\sum_{x} x\,\mathrm{P}(X=x).
No caso binário x\in\{0,1\}, a soma fica
E(X)=0\cdot\mathrm{P}(X=0)+1\cdot\mathrm{P}(X=1)=\mathrm{P}(X=1).
Como \mathrm{P}(X=1)=p, obtemos a fórmula conhecida para Bernoulli:
E(X)=p.
Substituindo p=0,05,
E(X)=0,05.
Interpretação rápida: a esperança é a probabilidade de defeito — em média, 5% dos produtos são defeituosos.

Passo 5

Fórmula e cálculo da variância \operatorname{Var}(X).
A variância é definida por
\operatorname{Var}(X)=E\big((X-E(X))^{2}\big)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
Para uma Bernoulli, como X só vale 0 ou 1, tem-se X^{2}=X. Logo E(X^{2})=E(X)=p. Portanto
\operatorname{Var}(X)=p-[p]^{2}=p(1-p).
Substituindo p=0,05,
\operatorname{Var}(X)=0,05\cdot(1-0,05)=0,05\cdot0,95=0,0475.
Interpretação: a variância mede a dispersão da indicação de defeito; aqui vale 0,0475 (unidade em termos de indicador 0/1).

Passo 6

Pequeno reforço com exemplo: se, noutra fábrica, p=0,20 (20%), então E(X)=0,20 e \operatorname{Var}(X)=0,20\cdot0,80=0,16. Isso ajuda a ver a fórmula p(1-p) na prática. Força — isso é exatamente o que costuma cair na prova: reconhecer Bernoulli, escrever pmf, calcular p, 1-p, E(X)=p e \operatorname{Var}(X)=p(1-p).

Resposta

a) X\sim\text{Bernoulli}(p=0,05).
b) \mathrm{P}(X=1)=0,05,\quad \mathrm{P}(X=0)=0,95.
c) E(X)=0,05,\quad \operatorname{Var}(X)=0,0475.

Exercícios relacionados