Uma máquina a vapor tem uma caldeira que opera a 500 K . O calor resultante da queima de combustível transforma água em vapor e este então aciona um pistão. A temperatura de descarga é a do ar exterior, 300 K . a) Qual é o maior rendimento térmico possível para essa máquina? b) Determine o trabalho máximo que a máquina pode executar em cada ciclo de operação se absorver 200J de calor do reservatório quente durante cada ciclo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes valores do enunciado). Dados:
  • Temperatura da caldeira (reservatório quente): T_H = 500\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura de descarga (reservatório frio): T_C = 300\\ \mathrm{K}.
  • Para a parte (b): calor absorvido por ciclo do reservatório quente: Q_H = 200\\ \mathrm{J}.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Qual é o maior rendimento térmico possível para essa máquina?
  • (b) Qual é o trabalho máximo que a máquina pode executar por ciclo, se absorver 200\\ \mathrm{J} por ciclo?

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que vamos usar: o maior rendimento térmico possível entre dois reservatórios térmicos é obtido por um motor reversível ideal (máquina de Carnot). O rendimento máximo de Carnot é dado por
\eta_{\text{max}} = 1 - \frac{T_C}{T_H},
onde:
  • \eta_{\text{max}} é o rendimento térmico máximo (sem unidade, fracionário);
  • T_H é a temperatura absoluta do reservatório quente (em kelvin);
  • T_C é a temperatura absoluta do reservatório frio (em kelvin).
Breve explicação didática: usar temperaturas em kelvin é obrigatório porque a relação vem da segunda lei da termodinâmica e da proporcionalidade entre calores trocados e temperaturas para um processo reversível. Intuitivamente, não se pode transformar todo o calor em trabalho; a fração que vira trabalho depende só das temperaturas.

Passo 3

Calcular o rendimento máximo substituindo os valores:
\eta_{\text{max}} = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300}{500}.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{300}{500} = \frac{3}{5} = 0,6,
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\eta_{\text{max}} = 1 - 0,6 = 0,4.
Convertendo para porcentagem:
\eta_{\text{max}} = 0,4 = 40\%.

Passo 4

Ligando rendimento e trabalho: para um ciclo de um motor térmico vale sempre a relação
W = Q_H - Q_C,
onde W é o trabalho por ciclo, Q_H o calor absorvido do reservatório quente e Q_C o calor rejeitado ao reservatório frio. Para um motor reversível (Carnot) existe a relação
\frac{Q_C}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H}.
Substituindo essa relação em W = Q_H - Q_C obtemos:
W_{\text{max}} = Q_H - Q_H\frac{T_C}{T_H} = Q_H\left(1 - \frac{T_C}{T_H}\right) = \eta_{\text{max}}\,Q_H.
Explicação didática: esse passo mostra que o trabalho máximo por ciclo é simplesmente o calor absorvido multiplicado pelo rendimento máximo. Não há truque algébrico além de fatorar Q_H.

Passo 5

Agora aplicamos ao caso numérico da parte (b). Sabendo que Q_H = 200\\ \mathrm{J} e que \eta_{\text{max}} = 0,4:
W_{\text{max}} = \eta_{\text{max}}\,Q_H = 0,4 \times 200\\ \mathrm{J}.
Fazendo a conta:
W_{\text{max}} = 80\\ \mathrm{J}.
Como verificação extra (opcional): o calor rejeitado ao reservatório frio seria
Q_C = Q_H - W_{\text{max}} = 200\\ \mathrm{J} - 80\\ \mathrm{J} = 120\\ \mathrm{J},
e a razão \dfrac{Q_C}{Q_H}=\dfrac{120}{200}=0,6 coincide com \dfrac{T_C}{T_H}=\dfrac{300}{500}=0,6, consistente com um motor reversível.

Passo 6

Comentário de incentivo e interpretação prática: o rendimento 40\% é o máximo teórico para uma máquina operando entre 500\\ \mathrm{K} e 300\\ \mathrm{K}; motores reais sempre têm rendimento menor por irreversibilidades (atrito, perdas de calor, não reversibilidade). Mas para provas e estimativas rápidas, usar a eficiência de Carnot é o procedimento correto para obter o limite superior.

Resposta

(a) \eta_{\text{max}} = 0,4 = 40\%
(b) W_{\text{max}} = 80\\ \mathrm{J}

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