Um recipiente contém 1,00 \mathrm{~kg} de hélio líquido, cujo ponto de ebulição é 4,2 \mathrm{~K} e calor de vaporização de 2,09 \times 10 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}. Se fornecermos energia a uma taxa constante de 10 W , quanto tempo levará a mudança de fase de vaporização? Se os mesmos 10 W fossem fornecidos para 1,00 \mathrm{~kg} de água, quanto tempo levaria a transição de fase de vaporização, sabendo que o calor latente de vaporização da água é 2,26 \cdot 10 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o tempo necessário para vaporizar 1{,}00\\ \text{kg} de duas substâncias quando se lhe fornece energia a uma taxa constante de 10\\ \text{W}. As informações dadas (e que vou usar) são:
  • Massa do líquido: m=1{,}00\\ \text{kg}.
  • Potência fornecida: P=10\\ \text{W} (ou seja, 10\\ \text{J/s}).
  • Calor latente de vaporização do hélio: L_{\text{He}}=2{,}09\times10^{4}\\ \text{J/kg}.
  • Calor latente de vaporização da água: L_{\text{H_2O}}=2{,}26\times10^{6}\\ \text{J/kg}.
As perguntas são:
  1. Quanto tempo leva para vaporizar 1{,}00\\ \text{kg} de hélio com P=10\\ \text{W}?
  2. Quanto tempo leva para vaporizar 1{,}00\\ \text{kg} de água com P=10\\ \text{W}?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • O calor necessário para vaporizar uma massa m de um líquido à temperatura de ebulição é dado por
Q = m\,L,
onde Q é a energia em joules ( \text{J}), m é a massa em quilogramas ( \text{kg}) e L é o calor latente de vaporização em \text{J/kg}.
  • Se a potência fornecida é constante e igual a P (em \text{W}=\text{J/s}), o tempo t necessário para fornecer a energia Q é
t=\frac{Q}{P}=\frac{m\,L}{P}.
Explicando cada letra: t é o tempo em segundos, m a massa, L o calor latente (energia por unidade de massa) e P a potência (energia por unidade de tempo). A unidade fica \dfrac{\text{kg}\cdot\text{J/kg}}{\text{J/s}}=\text{s}, ou seja, tempo em segundos.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao hélio (passo a passo e contas “mastigadas”).
  • Substituir na fórmula:
t_{\text{He}}=\frac{m\,L_{\text{He}}}{P}=\frac{1{,}00\cdot\left(2{,}09\times10^{4}\right)}{10}.
  • Calcular o numerador:
1{,}00\cdot\left(2{,}09\times10^{4}\right)=2{,}09\times10^{4}\\ \text{J}.
  • Dividir por P=10\\ \text{J/s}:
t_{\text{He}}=\frac{2{,}09\times10^{4}}{10}=2{,}09\times10^{3}\\ \text{s}.
  • Converter para minutos e segundos: 2{,}09\times10^{3}\\ \text{s}=2090\\ \text{s}. Em minutos:
2090\\ \text{s}=\left\lfloor\frac{2090}{60}\right\rfloor\\ \text{min}\\\ +\\ \text{resto}
\frac{2090}{60}=34{,}8333\ldots\\ \text{min}\Rightarrow 34\\ \text{min}\\ \text{e}\\\ 0{,}8333\cdot60\\ \text{s}=34\\ \text{min}\\\ 50\\ \text{s}.

Passo 4

Aplicando a fórmula à água (novamente passo a passo).
  • Substituir na fórmula:
t_{\text{H_2O}}=\frac{m\,L_{\text{H_2O}}}{P}=\frac{1{,}00\cdot\left(2{,}26\times10^{6}\right)}{10}.
  • Calcular o numerador:
1{,}00\cdot\left(2{,}26\times10^{6}\right)=2{,}26\times10^{6}\\ \text{J}.
  • Dividir por P=10\\ \text{J/s}:
t_{\text{H_2O}}=\frac{2{,}26\times10^{6}}{10}=2{,}26\times10^{5}\\ \text{s}.
  • Converter para horas e dias: primeiro para horas,
\frac{2{,}26\times10^{5}}{3600}\approx62{,}777\ldots\\ \text{h}.
Isso corresponde a 62\\ \text{h} e a parte fracionária 0{,}777\ldots\cdot60\\ \text{min}=46{,}666\ldots\\ \text{min}, ou seja 46\\ \text{min}\\\ 40\\ \text{s}. Em dias:
62{,}777\ldots\\ \text{h}\approx2{,}6157\\ \text{dias}\\ (\approx2\\ \text{dias}\\\ 14\\ \text{h}\\\ 46\\ \text{min}\\\ 40\\ \text{s}).

Passo 5

Resumo interpretativo rápido (amigo e encorajador).
  • Com uma potência pequena de 10\\ \text{W} (pouca energia por segundo), o hélio, que tem um calor latente muito menor que a água, vaporiza bem mais rápido.
  • Os números finais mostram essa enorme diferença: segundos a dezenas de minutos para o hélio versus dias para a água. Isso é porque a água precisa de muito mais energia por quilograma para passar de líquido para vapor.

Resposta

t_{\text{He}}=2{,}09\times10^{3}\\ \text{s}=2090\\ \text{s}=34\\ \text{min}\\\ 50\\ \text{s}.
t_{\text{H_2O}}=2{,}26\times10^{5}\\ \text{s}\approx62\\ \text{h}\\\ 46\\ \text{min}\\\ 40\\ \text{s}\\ (\approx2{,}62\\ \text{dias}).

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