As máquinas de indução possuem constantes de tensão elétrica e de torque semelhantes a outras máquinas que estudamos até agora? Se sim, escreva suas expressões.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Pergunta se as máquinas de indução têm constantes de tensão elétrica e de torque semelhantes às de outras máquinas estudadas.
  • Se a resposta for sim, escrever as expressões dessas constantes.
Informações/dados dados pelo enunciado:
  • Não há números nem figura; trata-se de uma pergunta conceitual com pedido de fórmulas.

Passo 2

Começando pelo fundamento físico: lei de Faraday para uma espira (ou enrolamento) imersa num fluxo magnético variável. A tensão induzida instantânea em uma espira com N espiras é
e(t) = -N\,\frac{d\Phi(t)}{dt},
onde:
  • \Phi(t) é o fluxo magnético ligado à espira (em weber, \mathrm{Wb});
  • N é o número de espiras;
  • e(t) é a f.e.m. instantânea induzida (em volts, \mathrm{V}).
Esta é a base para definir a “constante de tensão” de qualquer máquina elétrica: a relação entre velocidade angular relativa entre campo e condutores e a tensão induzida.

Passo 3

Transformando para regime senoidal estacionário. Se o fluxo ligado à bobina for senoidal, escrever
\Phi(t)=\Phi_m\cos(\omega_{rel} t),
onde:
  • \Phi_m é a amplitude do fluxo por polo ligado à espira;
  • \omega_{rel} é a velocidade angular relativa entre a espira e o campo magnético (em \mathrm{rad/s}) — muito importante para máquina de indução, pois a espira do rotor “vê” o campo girando com frequência de escorregamento.
Derivando e tomando amplitude da f.e.m. induzida obtemos a amplitude
E = N\,\omega_{rel}\,\Phi_m.
Definimos então a constante de tensão (constante eletromotriz)
\boxed{k_e = N\,\Phi_m}
de modo que, de forma compacta,
\boxed{E = k_e\,\omega_{rel}.}
Explicação dos símbolos:
  • k_e é a constante de tensão (unidade \mathrm{V\cdot s/rad} que na prática corresponde a \mathrm{V/(rad/s)});
  • E é amplitude (ou valor eficaz, dependendo da convenção) da f.e.m. induzida;
  • \omega_{rel} é a velocidade angular relativa entre condutor e campo.

Passo 4

Aplicando isso à máquina de indução: há três velocidades importantes:
  • velocidade síncrona elétrica (angular) \omega_s associada ao campo girante provocado pela corrente do estator ( \omega_s=2\pi f, em rad/s);
  • velocidade do rotor expressa em termos elétricos \omega_r (em rad/s, já multiplicada por número de pares de polos quando necessário);
  • escorregamento s definido por
\boxed{s=\frac{\omega_s-\omega_r}{\omega_s}.}
A frequência relativa vista pelas barras do rotor (frequência de rotor) é \omega_{rel}=\omega_s-\omega_r = s\,\omega_s. Logo a f.e.m. induzida no rotor (referida ao estator) vale
\boxed{E_2' = k_e\;\omega_{rel} = k_e\;s\,\omega_s,}
onde E_2' é a f.e.m. do rotor referida ao estator (notação comum em circuitos equivalentes).
Observação didática: para o estator ligado à rede a tensão é imposta; a expressão acima é útil para o rotor (e para modelagem por circuito equivalente). Assim, sim — a constante de tensão tem a mesma forma física básica: E\propto \omega_{rel} com o mesmo k_e=N\Phi.

Passo 5

Agora a constante de torque. Do ponto de vista energético, potência elétrica instantânea associada a um par tensão-corrente é p(t)=e(t)\,i(t). Em regime permanente, potência média elétrica convertida em mecânica por unidade de tempo é a potência mecânica desenvolvida P_m, que também escreve
P_m = T\,\Omega_m,
onde:
  • T é o torque eletromagnético (em newton·metro, \mathrm{N\cdot m});
  • \Omega_m é a velocidade mecânica do eixo (em rad/s).
Se a f.e.m. e a corrente forem relacionadas linearmente (regime linear de magnetização), pode-se escrever, de forma análoga a máquinas DC e síncronas, uma relação do tipo
\boxed{T = k_t\,I_{ef\!etivo},}
onde:
  • k_t é a constante de torque (unidade \mathrm{N\cdot m/A});
  • I_{ef\!etivo} é a corrente responsável pela força eletromotriz/tensão (corrente útil ressente no par de enrolamentos que gera torque).
A ligação entre k_e e k_t: pela conservação de energia, para um par tensão-corrente sinusoidais e velocidade \omega,
P = e_{\text{ef}}\;i_{\text{ef}} = T\;\omega.
Se e_{\text{ef}}=k_e\,\omega e T=k_t\,i_{\text{ef}}, então
k_e\,\omega\;i_{\text{ef}} = k_t\,i_{\text{ef}}\;\omega \quad\Rightarrow\quad \boxed{k_t = k_e.}
Ou seja, nas unidades SI e sob as mesmas convenções de referência, a constante de torque é numericamente igual à constante de tensão: k_t=k_e=N\Phi_m. Isso é análogo ao que ocorre em máquinas DC e síncronas (quando definidas com as mesmas normalizações).

Passo 6

Aplicando ao modelo clássico de máquina de indução (circuito equivalente referindo o rotor ao estator). Usando as grandezas referidas ao estator:
  • E_2' = f.e.m. induzida no rotor referida ao estator (já escrevemos E_2'=k_e s\omega_s);
  • R_2' = resistência do rotor referida ao estator;
  • X_2' = reatância de fugas do rotor referida ao estator;
  • I_2' = corrente do rotor referida ao estator;
  • \omega_s = velocidade síncrona elétrica.
A expressão clássica do torque eletromagnético desenvolvido em função de E_2', R_2', X_2' e s é
\boxed{T(\,s\,)=\dfrac{3\,{E_2'}^{2}\,\dfrac{R_2'}{s}}{\omega_s\left(R_2'^{2}+(sX_2')^{2}\right)}.}
Explicando:
  • fator 3 vem do sistema trifásico (potência total é soma das três fases);
  • o termo \dfrac{R_2'}{s} é a resistência aparente do ramo rotor no circuito equivalente (divide-se em perda Joule e potência convertida);
  • dividir por \omega_s transforma potência elétrica (W) em torque (N·m), porque T=P/\Omega e aqui \Omega em termos elétricos adotamos \omega_s.
Se, em vez de usar E_2', quiser ver a dependência em corrente, há também
\boxed{T = \dfrac{3\,I_2'^{2}\,R_2'\,(1-s)}{\omega_s\,s},}
que é equivalente a manipular a potência no ramo rotor (mas exige cuidado de interpretar potências convertidas vs perdas).

Passo 7

Resumo didático e observações práticas (para a prova):
  • Sim, as máquinas de indução têm constantes análogas às de outras máquinas: constante de tensão k_e e constante de torque k_t.
  • Expressões básicas (forma compacta, útil para identificar a igualdade das constantes):
\boxed{k_e = N\Phi_m,\qquad E = k_e\,\omega_{rel}}
\boxed{k_t = k_e,\qquad T = k_t\,I\quad(\text{o “I” apropriado depende do enrolamento/ramo considerado}).}
  • Para indução especificamente, lembre que a velocidade relativa que entra em E é a velocidade de escorregamento: \omega_{rel}=s\,\omega_s. Logo a f.e.m. induzida no rotor referida ao estator é E_2'=k_e s\omega_s.
  • Para cálculo detalhado do torque em função dos parâmetros do rotor e do escorregamento, usar a fórmula do circuito equivalente:
\boxed{T(s)=\dfrac{3\,{E_2'}^{2}\,\dfrac{R_2'}{s}}{\omega_s\left(R_2'^{2}+(sX_2')^{2}\right)}.}
  • Atenção: na prática \Phi_m não é perfeitamente constante (saturação magnética), e as correntes/torque dependem de impedâncias e do escorregamento, então T\propto I é uma aproximação útil para regime linear.

Resposta

Sim. As expressões fundamentais são:
k_e=N\Phi_m e E=k_e\,\omega_{rel}.
k_t=k_e e T=k_t\,I (com a corrente apropriada ao ramo).
Para máquina de indução, \omega_{rel}=s\,\omega_s e E_2'=k_e\,s\,\omega_s. A expressão de torque pelo circuito equivalente é
T(s)=\dfrac{3\,{E_2'}^{2}\,\dfrac{R_2'}{s}}{\omega_s\left(R_2'^{2}+(sX_2')^{2}\right)}.

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