Marcam-se cinco pontos distintos sobre uma reta
. Sobre outra reta
, paralela (e distinta) a
, marcam-se mais quatro pontos distintos.
Quantos quadriláteros convexos podem ser formados com vértices em quatro quaisquer desses pontos?
Quantos quadriláteros convexos podem ser formados com vértices em quatro quaisquer desses pontos?
Passo 1
O enunciado dá
pontos distintos sobre a reta
e
pontos sobre a reta
, sendo
. Precisamos contar quantos quadriláteros convexos podem ser formados escolhendo quaisquer
desses
pontos. Para que quatro pontos formem um quadrilátero convexo, não pode haver três pontos colineares. Como quaisquer três pontos numa mesma reta seriam colineares, devemos contar o total de escolhas de
pontos e subtrair aquelas que contêm pelo menos três pontos em
ou em
.
Passo 2
O número total de escolhas de
pontos entre os
é
Passo 3
Contamos as escolhas com pelo menos três pontos em
. Podem ocorrer exatamente três ou exatamente quatro em
:
– Três em e um em
:
– Três em
– Quatro em
e zero em
:
No total, há
escolhas inválidas por causa de
.
Passo 4
De modo análogo, as escolhas com pelo menos três pontos em
são:
– Três em e um em
:
– Três em
– Quatro em
e zero em
:
Total de
escolhas inválidas por causa de
.
Passo 5
Não há escolha que tenha simultaneamente ao menos três pontos em
e ao menos três em
, pois isso exigiria pelo menos
pontos. Logo, a interseção desses casos é vazia.
Passo 6
Aplicando exclusão de inválidos, o número de quadriláteros convexos é