Marcam-se cinco pontos distintos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela (e distinta) a r, marcam-se mais quatro pontos distintos.
Quantos quadriláteros convexos podem ser formados com vértices em quatro quaisquer desses pontos?

Passo 1

O enunciado dá 5 pontos distintos sobre a reta r e 4 pontos sobre a reta s, sendo r\parallel s. Precisamos contar quantos quadriláteros convexos podem ser formados escolhendo quaisquer 4 desses 9 pontos. Para que quatro pontos formem um quadrilátero convexo, não pode haver três pontos colineares. Como quaisquer três pontos numa mesma reta seriam colineares, devemos contar o total de escolhas de 4 pontos e subtrair aquelas que contêm pelo menos três pontos em r ou em s.

Passo 2

O número total de escolhas de 4 pontos entre os 9 é
\binom{9}{4} = 126.

Passo 3

Contamos as escolhas com pelo menos três pontos em r. Podem ocorrer exatamente três ou exatamente quatro em r:
– Três em r e um em s:
\binom{5}{3}\,\binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40.
– Quatro em r e zero em s:
\binom{5}{4}\,\binom{4}{0} = 5 \times 1 = 5.
No total, há 40 + 5 = 45 escolhas inválidas por causa de r.

Passo 4

De modo análogo, as escolhas com pelo menos três pontos em s são:
– Três em s e um em r:
\binom{4}{3}\,\binom{5}{1} = 4 \times 5 = 20.
– Quatro em s e zero em r:
\binom{4}{4}\,\binom{5}{0} = 1 \times 1 = 1.
Total de 20 + 1 = 21 escolhas inválidas por causa de s.

Passo 5

Não há escolha que tenha simultaneamente ao menos três pontos em r e ao menos três em s, pois isso exigiria pelo menos 6 pontos. Logo, a interseção desses casos é vazia.

Passo 6

Aplicando exclusão de inválidos, o número de quadriláteros convexos é
126 - (45 + 21) = 126 - 66 = 60.

Resposta

60 quadriláteros convexos.

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