Para montar o seu enxoval, Priscila foi a uma loja onde a vendedora lhe mostrou 7 jogos de cama, 8 jogos de banho e n jogos de mesa. Priscila achou que seria suficiente comprar dois jogos de cama, dois de mesa e quatro de banho. Nessas condições, Priscila escolheu uma entre as 66150 possibilidades de compra de seu enxoval. Qual é o valor de n ?

Passo 1

O enunciado pede para contar de quantas maneiras Priscila pode escolher 2 jogos de cama dentre 7, 4 jogos de banho dentre 8 e 2 jogos de mesa dentre n.
O conteúdo é combinação simples sem repetição. Vamos usar a fórmula
\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!}
para cada tipo de jogo e depois multiplicar as escolhas, pois as decisões são independentes.

Passo 2

O número total de formas de montar o enxoval é
\binom{7}{2}\;\binom{8}{4}\;\binom{n}{2} = 66150.
Calculando as partes conhecidas: \displaystyle \binom{7}{2} = 21 e \displaystyle \binom{8}{4} = 70.
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21 \times 70 \times \binom{n}{2} = 66150 \quad\Longrightarrow\quad 1470\,\binom{n}{2} = 66150.

Passo 3

Isolando \displaystyle \binom{n}{2}:
\binom{n}{2} = \frac{66150}{1470} = 45.
Pela definição,
\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = 45 \quad\Longrightarrow\quad n(n-1) = 90 \quad\Longrightarrow\quad n^2 - n - 90 = 0.
Resolvendo a equação quadrática, obtemos n=10 (descartamos a raiz negativa).

Resposta

10

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