Marcos foi a uma grande revisão para a prova de Matemática do ENEM em um curso da cidade de Aracaju. Para essa revisão, foram disponibilizadas apenas 50 vagas e todas foram preenchidas. Durante a revisão, o professor realizará o sorteio de 4 brindes entre os participantes.
A probabilidade de Marcos ser um dos sorteados é de
a) 1 \%.
b) 2 \%.
c) 4 \%
d) 8 \%.
e) 16 \%.
\frac{4}{50}=0,08
0.08 .100 . 8%

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que Marcos seja um dos sorteados quando o professor vai sortear 4 brindes entre os participantes. Informações dadas:
  • O número total de participantes é 50 (todas as vagas preenchidas).
  • O número de sorteados (brindes) é 4.
  • Queremos a probabilidade de que uma pessoa específica (Marcos) esteja entre esses 4.

Passo 2

Conceito que vamos usar: quando todos os resultados são igualmente prováveis ao sortear um subconjunto de pessoas, a probabilidade de um evento é
\text{probabilidade}=\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número de resultados possíveis}}.úáúí
Aqui “resultados possíveis” é o número de maneiras diferentes de escolher 4 pessoas entre 50, que é dado pela combinação
\binom{50}{4}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Uma combinação \binom{n}{k} conta o número de subconjuntos de tamanho k que podemos formar a partir de um conjunto de n elementos, quando a ordem não importa. A fórmula geral é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.

Passo 3

Agora contamos os resultados favoráveis: para que Marcos seja um dos sorteados, escolhemos Marcos e mais 3 pessoas entre as 49 restantes. O número de maneiras favoráveis é
\binom{49}{3}.
Portanto a probabilidade pedida é
\frac{\binom{49}{3}}{\binom{50}{4}}.

Passo 4

Vamos simplificar essa razão. Escrevendo as combinações em forma produtória:
\binom{49}{3}=\frac{49\cdot48\cdot47}{3\cdot2\cdot1}, \qquad \binom{50}{4}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Dividindo uma pela outra obtemos
\frac{\binom{49}{3}}{\binom{50}{4}} =\frac{\dfrac{49\cdot48\cdot47}{3\cdot2\cdot1}}{\dfrac{50\cdot49\cdot48\cdot47}{4\cdot3\cdot2\cdot1}} =\frac{1}{\dfrac{50}{4}} =\frac{4}{50}.
Explicação do que aconteceu: muitos fatores iguais cancelaram-se ( 49, 48, 47 e 3\cdot2\cdot1), sobrando apenas a razão entre 4 e 50.

Passo 5

Convertemos a fração para porcentagem. Calculando
\frac{4}{50}=0{,}08.
Para transformar em porcentagem multiplicamos por 100:
0{,}08\cdot100=8.
Portanto a probabilidade é 8\%. Intuição rápida: como há 4 ganhadores entre 50 pessoas, cada pessoa tem razão direta de 4 em 50 de ser sorteada.

Resposta

8\%

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