Na região
, que não inclui a origem
, o campo magnético
, onde
está bem definido e é de classe
. Além disso,
satisfaz as condições para ser um campo conservativo, isto é, para existir
de classe
tal que
em
.
a) Calcule as derivada parciais das coordenadas
e
.
a) Calcule as derivada parciais das coordenadas
Passo 1
O enunciado dá o campo
definido em
(a origem não está em
). As componentes são
A pergunta (parte a) é: calcular as derivadas parciais de
e de
; ou seja, encontrar
,
,
e
. Todos os dados necessários estão no enunciado.
Passo 2
Para simplificar a escrita, vou introduzir a constante
que é independente de
e
. Assim podemos reescrever as componentes como
Vou usar regras básicas de diferenciação: regra do produto, regra do quociente (equivalente a derivar
via produto + cadeia) e a derivada de
que é
(quando derivamos em relação a
) ou
(quando derivamos em relação a
). Vou mostrar cada passo com calma.
Passo 3
Cálculo de
.
Escrevemos
Ao derivar em relação a
tratamos
como constante. Usamos produto de
(constante em
) por
. A derivada de
em relação a
é
Portanto
Simplificando os sinais:
Passo 4
Cálculo de
.
Começamos novamente com
e aplicamos a regra do produto em
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Assim
Agora simplifico termo a termo:
Coloco em denominador comum
:
Finalmente
Passo 5
Cálculo de
.
Escrevemos
Derivando em relação a
aplicamos a regra do produto:
e
.
-
. -
.
Portanto
Simplificando:
Colocando em denominador comum:
Ou seja,
que coincide com
encontrado no passo anterior.
Passo 6
Cálculo de
.
Usamos
e derivamos em relação a
. Aqui
é tratado como constante, então só temos a derivada de
em relação a
, que é
. Assim
Passo 7
Resumo e verificação rápida: juntando os resultados anteriores, temos as quatro derivadas parciais explicitadas — e podemos verificar que
, conforme aparece nas expressões. Isso é uma verificação direta dos cálculos e é uma condição frequentemente usada em problemas que pedem verificar se um campo é conservativo (aqui nós apenas calculamos as derivadas).
Resposta
onde