Na região Q=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; y>0\right\}, que não inclui a origem \mathcal{O}, o campo magnético B(x, y)=(L(x, y), M(x, y)), onde
L(x, y)=\frac{\mu_{0} i_{0}}{2 \pi}\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\right) \text { e } M(x, y)=\frac{\mu_{0} i_{0}}{2 \pi}\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)
está bem definido e é de classe C^{1}. Além disso, B satisfaz as condições para ser um campo conservativo, isto é, para existir f: Q \rightarrow \mathbb{R} de classe C^{2} tal que B=\nabla f em Q.
a) Calcule as derivada parciais das coordenadas L e M.

Passo 1

O enunciado dá o campo B(x,y)=(L(x,y),M(x,y)) definido em Q=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\;y>0\} (a origem não está em Q). As componentes são
L(x,y)=\frac{\mu_0 i_0}{2\pi}\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right), \qquad M(x,y)=\frac{\mu_0 i_0}{2\pi}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right).
A pergunta (parte a) é: calcular as derivadas parciais de L e de M; ou seja, encontrar \frac{\partial L}{\partial x}, \frac{\partial L}{\partial y}, \frac{\partial M}{\partial x} e \frac{\partial M}{\partial y}. Todos os dados necessários estão no enunciado.

Passo 2

Para simplificar a escrita, vou introduzir a constante
C=\frac{\mu_0 i_0}{2\pi},
que é independente de x e y. Assim podemos reescrever as componentes como
L(x,y)=-C\frac{y}{x^2+y^2},\qquad M(x,y)=C\frac{x}{x^2+y^2}.
Vou usar regras básicas de diferenciação: regra do produto, regra do quociente (equivalente a derivar u(x,y)\,v(x,y)^{-1} via produto + cadeia) e a derivada de (x^2+y^2)^{-1} que é -1\cdot (x^2+y^2)^{-2}\cdot 2x (quando derivamos em relação a x) ou -2y (quando derivamos em relação a y). Vou mostrar cada passo com calma.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial L}{\partial x}.
Escrevemos
L(x,y)=-C\,y\,(x^2+y^2)^{-1}.
Ao derivar em relação a x tratamos y como constante. Usamos produto de -C\,y (constante em x) por (x^2+y^2)^{-1}. A derivada de (x^2+y^2)^{-1} em relação a x é
\frac{d}{dx}(x^2+y^2)^{-1} = -1\cdot (x^2+y^2)^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}.
Portanto
\frac{\partial L}{\partial x} = -C\,y\cdot\left(-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}\right).
Simplificando os sinais:
\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{2C x y}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}.
Começamos novamente com L(x,y)=-C\,y\,(x^2+y^2)^{-1} e aplicamos a regra do produto em y:
  • Derivada de -C\,y em relação a y é -C.
  • Derivada de (x^2+y^2)^{-1} em relação a y é -\dfrac{2y}{(x^2+y^2)^2}.
Assim
\frac{\partial L}{\partial y} = (-C)\cdot (x^2+y^2)^{-1} + (-C\,y)\cdot\left(-\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}\right).
Agora simplifico termo a termo:
\frac{\partial L}{\partial y} = -\frac{C}{x^2+y^2} + \frac{2C y^2}{(x^2+y^2)^2}.
Coloco em denominador comum (x^2+y^2)^2:
\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{-C(x^2+y^2) + 2C y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{C(-x^2 - y^2 + 2y^2)}{(x^2+y^2)^2}.
Finalmente
\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{C(y^2 - x^2)}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial M}{\partial x}.
Escrevemos
M(x,y)=C\,x\,(x^2+y^2)^{-1}.
Derivando em relação a x aplicamos a regra do produto: u(x)=C x e v(x)=(x^2+y^2)^{-1}.
  • u'(x)=C.
  • v'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+y^2)^2}.
Portanto
\frac{\partial M}{\partial x}=C\cdot (x^2+y^2)^{-1} + Cx\cdot\left(-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}\right).
Simplificando:
\frac{\partial M}{\partial x} = \frac{C}{x^2+y^2} - \frac{2C x^2}{(x^2+y^2)^2}.
Colocando em denominador comum:
\frac{\partial M}{\partial x} = \frac{C(x^2+y^2) - 2C x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{C(-x^2 + y^2)}{(x^2+y^2)^2}.
Ou seja,
\frac{\partial M}{\partial x} = \frac{C(y^2 - x^2)}{(x^2+y^2)^2},
que coincide com \dfrac{\partial L}{\partial y} encontrado no passo anterior.

Passo 6

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}.
Usamos M(x,y)=C\,x\,(x^2+y^2)^{-1} e derivamos em relação a y. Aqui x é tratado como constante, então só temos a derivada de (x^2+y^2)^{-1} em relação a y, que é -\dfrac{2y}{(x^2+y^2)^2}. Assim
\frac{\partial M}{\partial y} = Cx\cdot\left(-\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}\right) = -\frac{2C x y}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 7

Resumo e verificação rápida: juntando os resultados anteriores, temos as quatro derivadas parciais explicitadas — e podemos verificar que \dfrac{\partial L}{\partial y}=\dfrac{\partial M}{\partial x}, conforme aparece nas expressões. Isso é uma verificação direta dos cálculos e é uma condição frequentemente usada em problemas que pedem verificar se um campo é conservativo (aqui nós apenas calculamos as derivadas).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x}=\frac{2Cxy}{(x^2+y^2)^2}\
\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}=\frac{C(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}\
\displaystyle \frac{\partial M}{\partial x}=\frac{C(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}\
\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{2Cxy}{(x^2+y^2)^2}\
onde \displaystyle C=\frac{\mu_0 i_0}{2\pi}.

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