Questão 5 ( 2,5 pontos). A vida média M de um átomo é dada pela integral:
em que t é o tempo decorrido, e k é sua constante de decaimento. Determine a vida média do Iodo-131, assumindo que sua constante de decaimento seja
dias
.
em que t é o tempo decorrido, e k é sua constante de decaimento. Determine a vida média do Iodo-131, assumindo que sua constante de decaimento seja
Passo 1
O enunciado dá a vida média
de um átomo pela integral
onde
é o tempo (em dias) e
é a constante de decaimento. É informado que, para o Iodo-131, a constante vale
dias
. A pergunta é: determinar a vida média
do Iodo-131 (em dias) usando essa informação.
Passo 2
Primeiro vamos checar se a integral imprópria
converge para o valor de
dado. Como
, temos
, que decai exponencialmente quando
. O produto
tende a zero quando
. Uma forma simples de ver isso é reescrever
e aplicar a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador): a derivada do numerador é
e a do denominador é
, cujo quociente tende a
. Logo a integral converge para
. Bom — podemos prosseguir com o cálculo.
Passo 3
Vamos calcular a integral imprópria
por partes. Recordando a fórmula de integração por partes:
escolhemos
(para simplificar ao derivar) e
. Então
Aplicando a fórmula:
A segunda integral dá
. Portanto um antiderivado é
Passo 4
Agora avaliamos a integral imprópria como limite:
Para
já vimos que
e
, então
. Em
obtemos
Logo
Passo 5
Substituindo esse resultado na expressão de
,
Portanto a vida média depende de
simplesmente como
. Agora plugamos o valor numérico
dias
:
Fazendo a conta sem calculadora:
. A unidade é dias. Note que
, como esperado fisicamente.