Questão 5 ( 2,5 pontos). A vida média M de um átomo é dada pela integral:
M=-k \int_{0}^{\infty} t e^{k t} d t
em que t é o tempo decorrido, e k é sua constante de decaimento. Determine a vida média do Iodo-131, assumindo que sua constante de decaimento seja k=-0,05 dias ^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a vida média M de um átomo pela integral
M = -k \int_{0}^{\infty} t e^{k t}\, d t,
onde t é o tempo (em dias) e k é a constante de decaimento. É informado que, para o Iodo-131, a constante vale k = -0,05 dias ^{-1}. A pergunta é: determinar a vida média M do Iodo-131 (em dias) usando essa informação.

Passo 2

Primeiro vamos checar se a integral imprópria \int_{0}^{\infty} t e^{k t}\,dt converge para o valor de k dado. Como k=-0,05<0, temos e^{k t}=e^{-|k|t}, que decai exponencialmente quando t\to\infty. O produto t e^{-|k|t} tende a zero quando t\to\infty. Uma forma simples de ver isso é reescrever
\lim_{t\to\infty} t e^{-|k|t} = \lim_{t\to\infty} \frac{t}{e^{|k|t}}
e aplicar a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador): a derivada do numerador é 1 e a do denominador é |k| e^{|k|t}, cujo quociente tende a 0. Logo a integral converge para k<0. Bom — podemos prosseguir com o cálculo.

Passo 3

Vamos calcular a integral imprópria \int_{0}^{\infty} t e^{k t}\,dt por partes. Recordando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
escolhemos u=t (para simplificar ao derivar) e dv = e^{k t}\,dt. Então
du = dt,\qquad v=\int e^{k t}\,dt = \frac{e^{k t}}{k}.
Aplicando a fórmula:
\int t e^{k t}\,dt = t\cdot\frac{e^{k t}}{k} - \int \frac{e^{k t}}{k}\,dt.
A segunda integral dá \frac{e^{k t}}{k^2}. Portanto um antiderivado é
F(t)=\frac{t e^{k t}}{k} - \frac{e^{k t}}{k^2}.

Passo 4

Agora avaliamos a integral imprópria como limite:
\int_{0}^{\infty} t e^{k t}\,dt = \lim_{b\to\infty} \bigl(F(b)-F(0)\bigr).
Para k<0 já vimos que e^{k b}\to 0 e b e^{k b}\to 0, então F(b)\to 0. Em t=0 obtemos
F(0)=\frac{0\cdot e^{0}}{k} - \frac{e^{0}}{k^2} = -\frac{1}{k^2}.
Logo
\int_{0}^{\infty} t e^{k t}\,dt = 0 - \Bigl(-\frac{1}{k^2}\Bigr) = \frac{1}{k^2}.

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão de M,
M = -k \cdot \frac{1}{k^2} = -\frac{1}{k}.
Portanto a vida média depende de k simplesmente como -1/k. Agora plugamos o valor numérico \;k=-0,05 dias ^{-1}:
M = -\frac{1}{-0,05} = \frac{1}{0,05}.
Fazendo a conta sem calculadora: \frac{1}{0,05}=\frac{1}{5/100}=\frac{100}{5}=20. A unidade é dias. Note que M>0, como esperado fisicamente.

Resposta

\;20\\ \text{dias}

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