(Marinha/2022 - CP-T - Adaptada) Em uma fábrica, sabe-se que 2 % das munições produzidas possuem defeitos. Assinale a opção que apresenta a probabilidade que, em uma amostra de 100 munições escolhidas aleatoriamente, exatamente 4 sejam defeituosas.
a) 23 e^2
b) 23 e^2
c) -2e^2
d) -2e^4
e) 1

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que numa fábrica 2 % das munições são defeituosas e a gente quer a probabilidade de, numa amostra de 100 munições, exatamente 4 estarem com defeito.
Conteúdo: probabilidade discreta – distribuição binomial e sua aproximação pela distribuição de Poisson.
O que vamos precisar:
  • Fórmula da binomial: .
  • No nosso caso , , .
  • Como é grande e é pequeno, a gente pode usar a aproximação de Poisson com .

Passo 2

Primeiro, teoricamente, a probabilidade exata seria
P(X=4) = binom1004(0.02)^4(0.98)^96
Mas esse cálculo dá umas contas gigantes (fatorial, potências etc.). Então a gente recorre à aproximação de Poisson quando é grande e é pequeno.

Passo 3

Explicando a teoria da aproximação de Poisson:
  • Se P(X=k) = e^-lambda,lambda^kk! , com grande e bem pequeno, então onde .
  • A fórmula de Poisson é

Passo 4

No nosso caso:
lambda = n,p = 100 times 0.02 = 2
Então, usando Poisson para P(X=4) = e^-2,2^44! :
P(X=4) = e^-2,1624 = e^-2,23
Aí é só fazer as continhas:
  • .
  • .
    Logo

Passo 5

Simplificando, fica
P(X=4) = 23 ,e^-2
E isso bate direitinho com a opção (a) do enunciado, que é .

Resposta

(opção a)

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