(Marinha/2021 - CP-T) Suponha-se que o custo de realização de um experimento seja R$ 500,00. Se o experimento falhar, deverá ser pago o custo de realização novamente e ainda ocorrerá um custo adicional de R$ 100, 00 em virtude de serem necessárias algumas alterações antes que a próxima tentativa seja executada. Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer for 0,1 , se as provas forem independentes, e se os experimentos continuarem até que o primeiro resultado frutuoso seja alcançado, qual será o custo esperado do procedimento completo?
a) 500,00 Se o experimento falhar, deverá ser pago o custo de realização novamente e ainda ocorrerá um custo adicional de R
b) R
c) b)
d) 600,00
e) R

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: cada tentativa de experimento custa R$ 500, e se der errado ainda tem um custo extra de R$ 100 para ajustar as coisas antes de tentar de novo. A probabilidade de sucesso em cada tentativa é 500, e se der errado ainda tem um custo extra de R, e a gente repete até conseguir o primeiro sucesso. A matéria aqui é Probabilidade (variável geométrica) e Esperança Matemática. Vamos usar a distribuição geométrica para achar quantas tentativas em média a gente vai precisar e, em seguida, calcular o custo esperado com base nisso.

Passo 2

Primeiro, modelo a variável aleatória P(N=k) = (1-p)^k-1 p, k=1,2,3,dots = número de tentativas até o primeiro sucesso. Como cada tentativa tem probabilidade E[N] ;=;1p;=;10,1;=;10 de sucesso e são independentes, segue a distribuição geométrica:
E a esperança dessa variável é

Passo 3

Agora, preciso traduzir “número de tentativas” em “custo total”. Se o experimento só para quando dá certo, significa que:
  • Nas C = 600,(N-1) ;+; 500 primeiras tentativas (que falham) eu pago cada uma.
  • Na última (a de número ), que dá certo, eu pago só .
    Logo, o custo total em função de é

Passo 4

Vamos encontrar E[C] = El[600,(N-1) + 500r] = 600,E[N-1] + 500 = 600,(E[N] - 1) + 500 . Como E[C] = 600,(10 - 1) + 500 = 600 times 9 + 500 = 5400 + 500 = 5900 é função de , usamos a linearidade da esperança:
Já sabemos que , então

Resposta

O custo esperado do procedimento completo é R$ 5.900,00.

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