(Marinha/2021 - CP-T) Suponha-se que o custo de realização de um experimento seja R$ 500,00. Se o experimento falhar, deverá ser pago o custo de realização novamente e ainda ocorrerá um custo adicional de R$ 100, 00 em virtude de serem necessárias algumas alterações antes que a próxima tentativa seja executada. Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer for 0,1 , se as provas forem independentes, e se os experimentos continuarem até que o primeiro resultado frutuoso seja alcançado, qual será o custo esperado do procedimento completo?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: cada tentativa de experimento custa R$ 500, e se der errado ainda tem um custo extra de R$ 100 para ajustar as coisas antes de tentar de novo. A probabilidade de sucesso em cada tentativa é
, e a gente repete até conseguir o primeiro sucesso. A matéria aqui é Probabilidade (variável geométrica) e Esperança Matemática. Vamos usar a distribuição geométrica para achar quantas tentativas em média a gente vai precisar e, em seguida, calcular o custo esperado com base nisso.
Passo 2
Primeiro, modelo a variável aleatória
= número de tentativas até o primeiro sucesso. Como cada tentativa tem probabilidade
de sucesso e são independentes,
segue a distribuição geométrica:
E a esperança dessa variável é
Passo 3
Agora, preciso traduzir “número de tentativas” em “custo total”. Se o experimento só para quando dá certo, significa que:
- Nas
primeiras tentativas (que falham) eu pago cada uma. - Na última (a de número
), que dá certo, eu pago só .
Logo, o custo totalem função de é
Passo 4
Vamos encontrar
. Como
é função de
, usamos a linearidade da esperança:
Já sabemos que
, então
Resposta
O custo esperado do procedimento completo é R$ 5.900,00.