Mário sabe que, em princípio, a probabilidade da mãe de Joana sair em qualquer noite é
. Joana só fica sabendo dos planos da mãe às 18 horas e, então, às 18 h 15 ela tem uma única chance de gritar uma mensagem em código a Mário, que mora no prédio ao lado. Com o barulho do trânsito e arredores, Mário tem dificuldade em entender a mensagem. Antes de mais nada, Mário deverá decidir qual das duas mensagens
ou
Joana empregará para comunicar Mamãe vai sair e Mamãe vai ficar. Usando a notação:
: Joana grita a mensagem
: Joana grita a mensagem
: Mário entende
: Mário entende
, e sendo dados:
Qual dos dois códigos
minimiza a probabilidade de erro de transmissão?
Passo 1
O enunciado diz que a mãe de Joana sai com probabilidade 60% (e fica com 40%), Joana manda um código A ou B e Mário pode entender a mensagem errada por causa do barulho. Temos as probabilidades condicionais de ele entender “a” ou “b” dado que Joana gritou A ou B. O conteúdo é de probabilidade condicional e probabilidade total (ou seja, como calcular a chance de erro somando casos ponderados pelos priors). Para resolver, vamos:
- Anotar os priors: P(mãe sai)=0.6 e P(mãe fica)=0.4.
- Calcular, para cada código (I e II), a probabilidade de erro em cada caso (mãe sai/fica) e depois a probabilidade total de erro.
- Comparar e escolher o que dá menor erro.
Passo 2
Anotando as probabilidades de entendimento:
.
E os priors:
E os priors:
Passo 3
Código I:
- Se a mãe sai, Joana grita A. Mário erra se entende “b”:
. - Se a mãe fica, Joana grita B. Mário erra se entende “a”:
.
Probabilidade total de erro:
Passo 4
Código II (A e B trocados):
- Se a mãe sai, Joana grita B. Erro se Mário ouve “a”:
. - Se a mãe fica, Joana grita A. Erro se Mário ouve “b”:
.
Probabilidade total de erro:
Passo 5
Comparando as duas probabilidades de erro:
Código I dá e Código II dá aproximadamente
. Como
, o Código II é melhor (menor taxa de erro).
Código I dá
Resposta
O Código II minimiza a probabilidade de erro de transmissão.