Mário sabe que, em princípio, a probabilidade da mãe de Joana sair em qualquer noite é 60 %. Joana só fica sabendo dos planos da mãe às 18 horas e, então, às 18 h 15 ela tem uma única chance de gritar uma mensagem em código a Mário, que mora no prédio ao lado. Com o barulho do trânsito e arredores, Mário tem dificuldade em entender a mensagem. Antes de mais nada, Mário deverá decidir qual das duas mensagens A ou B Joana empregará para comunicar Mamãe vai sair e Mamãe vai ficar. Usando a notação:
A : Joana grita a mensagem A
B : Joana grita a mensagem B
a : Mário entende A
b : Mário entende B , e sendo dados:
P(a mid A)=23 ; P(b mid A)=13 ; P(b mid B)=34 ; P(a mid B)=14
Qual dos dois códigos
& Código I : A- Mamãe vai sair B- & Mamãe vai ficar & Código II : l A- Mamãe vai ficar B- Mamãe vai sair óããóãã
minimiza a probabilidade de erro de transmissão?

Passo 1

O enunciado diz que a mãe de Joana sai com probabilidade 60% (e fica com 40%), Joana manda um código A ou B e Mário pode entender a mensagem errada por causa do barulho. Temos as probabilidades condicionais de ele entender “a” ou “b” dado que Joana gritou A ou B. O conteúdo é de probabilidade condicional e probabilidade total (ou seja, como calcular a chance de erro somando casos ponderados pelos priors). Para resolver, vamos:
  1. Anotar os priors: P(mãe sai)=0.6 e P(mãe fica)=0.4.
  2. Calcular, para cada código (I e II), a probabilidade de erro em cada caso (mãe sai/fica) e depois a probabilidade total de erro.
  3. Comparar e escolher o que dá menor erro.

Passo 2

Anotando as probabilidades de entendimento:
.
E os priors:
í

Passo 3

Código I:
  • Se a mãe sai, Joana grita A. Mário erra se entende “b”:
    .
  • Se a mãe fica, Joana grita B. Mário erra se entende “a”:
    .
    Probabilidade total de erro:

Passo 4

Código II (A e B trocados):
  • Se a mãe sai, Joana grita B. Erro se Mário ouve “a”:
    .
  • Se a mãe fica, Joana grita A. Erro se Mário ouve “b”:
    .
    Probabilidade total de erro:

Passo 5

Comparando as duas probabilidades de erro:
Código I dá e Código II dá aproximadamente . Como , o Código II é melhor (menor taxa de erro).

Resposta

O Código II minimiza a probabilidade de erro de transmissão.

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