Mário sabe que, em princípio, a probabilidade da mãe de Joana sair em qualquer noite é
. Joana só fica sabendo dos planos da mãe às 18 horas e, então, às 18 h 15 ela tem uma única chance de gritar uma mensagem em código a Mário, que mora no prédio ao lado. Com o barulho do trânsito e arredores, Mário tem dificuldade em entender a mensagem. Antes de mais nada, Mário deverá decidir qual das duas mensagens
ou
Joana empregará para comunicar Mamãe vai sair e Mamãe vai ficar. Usando a notação:
: Joana grita a mensagem
: Joana grita a mensagem
: Mário entende
: Mário entende
, e sendo dados:
Mário atribui os seguintes valores às consequências:
Mãe de Joana sai | Mãe de Joana em casa | |
---|---|---|
Mário vai à casa de Joana | 30 | -30 |
Mário fica em casa | -5 | 0 |
Qual dos dois códigos maximiza o valor esperado?
Passo 1
Beleza, vamos organizar o problema antes de sair calculando tudo.
Enunciado resumido:
Enunciado resumido:
- A mãe de Joana sai com prob 0,6 e fica em casa com prob 0,4.
- Joana manda um código “A” ou “B” às 18h15.
- O canal é ruidoso:
- Se Mário vai até a casa e a mãe saiu: ganho +30; se vai e a mãe ficou: −30.
- Se Mário fica em casa e a mãe saiu: −5; se fica e a mãe ficou: 0.
Conteúdo aplicado: decisão bayesiana (cálculo de posterior, comparação de utilidades esperadas e escolha da codificação que dá maior valor esperado). Vamos precisar de Bayes e de cálculo de valor esperado.
Passo 2
Analisando a codificação 1:
“A” = “mamãe vai sair”, “B” = “mamãe fica”.
“A” = “mamãe vai sair”, “B” = “mamãe fica”.
- Calcular as probabilidades conjuntas
:
- P(a e sai) = 0,6·P(a|A) = 0,6·(2/3) = 0,4
- P(b e sai) = 0,6·(1/3) = 0,2
- P(a e fica) = 0,4·P(a|B) = 0,4·(1/4) = 0,1
- P(b e fica) = 0,4·(3/4) = 0,3
-
Para cada observação (a ou b), achamos o posterior
e decidimos “vai” ou “fica”. - Regra de decisão: escolho “vai” se
, isto é
.
Isso dá um limiar.
Observação a:
⇒ Mário vai.
Observação b:
⇒ Mário fica. - Regra de decisão: escolho “vai” se
-
Valor esperado total:
- Se “a” e ele vai:
. - Se “b” e ele fica:
.
Total EV₁ = 9 + (−1) = 8.
Passo 3
Agora a codificação 2:
“A” = “mamãe fica”, “B” = “mamãe vai sair”.
“A” = “mamãe fica”, “B” = “mamãe vai sair”.
- Conjuntas:
- P(a e sai) = 0,6·P(a|B) = 0,6·(1/4) = 0,15
- P(b e sai) = 0,6·(3/4) = 0,45
- P(a e fica) = 0,4·P(a|A) = 0,4·(2/3) ≈0,2667
- P(b e fica) = 0,4·(1/3) ≈0,1333
- Posteriors e decisão (mesmo limiar 6/13):
- Para “a”:
⇒ Mário fica. - Para “b”:
⇒ Mário vai.
- Valor esperado total:
- “a” e fica:
. - “b” e vai:
.
Total EV₂ = 9,5 + (−0,75) = 8,75.
Passo 4
Comparando os dois:
EV₁ = 8 para a codificação “A=sai, B=fica”
EV₂ = 8,75 para a codificação “A=fica, B=sai”
EV₁ = 8 para a codificação “A=sai, B=fica”
EV₂ = 8,75 para a codificação “A=fica, B=sai”
Resposta
A codificação que maximiza o valor esperado é
“A” = “mamãe fica em casa” e “B” = “mamãe sai”
com valor esperado de .
“A” = “mamãe fica em casa” e “B” = “mamãe sai”
com valor esperado de