Mário sabe que, em princípio, a probabilidade da mãe de Joana sair em qualquer noite é 60 %. Joana só fica sabendo dos planos da mãe às 18 horas e, então, às 18 h 15 ela tem uma única chance de gritar uma mensagem em código a Mário, que mora no prédio ao lado. Com o barulho do trânsito e arredores, Mário tem dificuldade em entender a mensagem. Antes de mais nada, Mário deverá decidir qual das duas mensagens A ou B Joana empregará para comunicar Mamãe vai sair e Mamãe vai ficar. Usando a notação:
A : Joana grita a mensagem A
B : Joana grita a mensagem B
a : Mário entende A
b : Mário entende B , e sendo dados:
P(a mid A)=23 ; P(b mid A)=13 ; P(b mid B)=34 ; P(a mid B)=14
Mário atribui os seguintes valores às consequências:
Mãe de Joana sai Mãe de Joana em casa
Mário vai à casa de Joana 30 -30
Mário fica em casa -5 0
Qual dos dois códigos maximiza o valor esperado?

Passo 1

Beleza, vamos organizar o problema antes de sair calculando tudo.
Enunciado resumido:
  • A mãe de Joana sai com prob 0,6 e fica em casa com prob 0,4.
  • Joana manda um código “A” ou “B” às 18h15.
  • O canal é ruidoso:
  • Se Mário vai até a casa e a mãe saiu: ganho +30; se vai e a mãe ficou: −30.
  • Se Mário fica em casa e a mãe saiu: −5; se fica e a mãe ficou: 0.
Conteúdo aplicado: decisão bayesiana (cálculo de posterior, comparação de utilidades esperadas e escolha da codificação que dá maior valor esperado). Vamos precisar de Bayes e de cálculo de valor esperado.

Passo 2

Analisando a codificação 1:
“A” = “mamãe vai sair”, “B” = “mamãe fica”.
  1. Calcular as probabilidades conjuntas :
  • P(a e sai) = 0,6·P(a|A) = 0,6·(2/3) = 0,4
  • P(b e sai) = 0,6·(1/3) = 0,2
  • P(a e fica) = 0,4·P(a|B) = 0,4·(1/4) = 0,1
  • P(b e fica) = 0,4·(3/4) = 0,3
  1. Para cada observação (a ou b), achamos o posterior e decidimos “vai” ou “fica”.
    • Regra de decisão: escolho “vai” se
      , isto é
      .
      Isso dá um limiar .
    Observação a:
    ⇒ Mário vai.
    Observação b:
    ⇒ Mário fica.
  2. Valor esperado total:
  • Se “a” e ele vai: .
  • Se “b” e ele fica: .
    Total EV₁ = 9 + (−1) = 8.

Passo 3

Agora a codificação 2:
“A” = “mamãe fica”, “B” = “mamãe vai sair”.
  1. Conjuntas:
  • P(a e sai) = 0,6·P(a|B) = 0,6·(1/4) = 0,15
  • P(b e sai) = 0,6·(3/4) = 0,45
  • P(a e fica) = 0,4·P(a|A) = 0,4·(2/3) ≈0,2667
  • P(b e fica) = 0,4·(1/3) ≈0,1333
  1. Posteriors e decisão (mesmo limiar 6/13):
  • Para “a”:
    ⇒ Mário fica.
  • Para “b”:
    ⇒ Mário vai.
  1. Valor esperado total:
  • “a” e fica: .
  • “b” e vai: .
    Total EV₂ = 9,5 + (−0,75) = 8,75.

Passo 4

Comparando os dois:
EV₁ = 8 para a codificação “A=sai, B=fica”
EV₂ = 8,75 para a codificação “A=fica, B=sai”

Resposta

A codificação que maximiza o valor esperado é
“A” = “mamãe fica em casa” e “B” = “mamãe sai”
com valor esperado de .

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