Marque a(s) alternativa(s) CORRETA(S).
(a) O limite
é uma indeterminação e seu valor é 1 .
(b) O limite
é uma indeterminação e seu valor é 1 .
(c) O limite
é uma indeterminação e seu valor é
.
(d) O limite
é uma indeterminação e seu valor é 0 .
(a) O limite
(b) O limite
(c) O limite
(d) O limite
Passo 1
O enunciado pede: marcar quais alternativas entre (a), (b), (c) e (d) são CORRETAS. Vou listar claramente o que cada alternativa afirma (sem resolver ainda), para que fique claro o que cada item exige:
- (a) Afirma que
é uma indeterminação e que o valor desse limite é . - (b) Afirma que
é uma indeterminação e que o valor desse limite é . - (c) Afirma que
é uma indeterminação e que o valor desse limite é . - (d) Afirma que
é uma indeterminação e que o valor desse limite é .
Passo 2
Rápida lembrança didática sobre “indeterminações” e técnicas úteis (vai ajudar a entender os cálculos):
- Uma “indeterminação” é uma forma limite que, à primeira vista, não dá o valor do limite (por exemplo
, , , , etc.). Dizer que uma expressão é de tipo indeterminado não garante que o limite não exista — apenas diz que é preciso manipular a expressão. - Técnica muito útil para potências com base e expoente que variam é reescrever:
Assim basta estudar o limite do expoente
.
- Para funções trigonométricas perto de zero, duas ferramentas simples e fortes:
- Identidade:
. - Limite padrão:
.
- Identidade:
- L’Hôpital: se uma fração tem forma
ou , às vezes aplicando derivadas do numerador e denominador se resolve o limite.
Passo 3
Análise do item (a):
.
-
Observar o comportamento das partes ao aproximar
: -
, logo o numerador . - O denominador
.
Então a forma é, uma indeterminação típica — mas precisa calcular o limite.
-
-
Usar a identidade trigonométrica para manipular de forma limpa:
Logo
- Reescrever
em termos de e do quociente padrão :
Substituindo:
- Agora passar ao limite: quando
temos . Portanto
Conclusão para (a): o limite existe e vale
. A alternativa dizia que era indeterminação e que o valor era
. A parte sobre “indeterminação” (a forma inicial era
) é tecnicamente verdadeira ao classificar a forma, mas o valor afirmado
está errado. Como a alternativa combina as duas afirmações (é indeterminação e vale
), a alternativa (a) é FALSA.
Passo 4
Análise do item (b):
.
-
Observar a forma: quando
, - a base
, - o expoente
.
Então é da forma, que é uma indeterminação. Logo a parte “é uma indeterminação” da alternativa está correta — resta verificar o valor.
- a base
-
Reescrever usando exponencial natural:
- Estudar o expoente
quando . É útil lembrar o limite padrão
Breve justificativa (uma forma via L’Hôpital): escrever
. Para
,
e
, então temos forma
; aplicando L’Hôpital,
Portanto
, e então
.
- Consequência para a original:
Conclusão para (b): a alternativa afirma corretamente que é uma indeterminação e que o limite vale
. Logo (b) é VERDADEIRA.
Passo 5
Análise do item (c):
.
-
Observar a forma: quando
, - a base
, - o expoente
.
Então é da forma, que é uma indeterminação — a parte “é uma indeterminação” da alternativa está correta.
- a base
-
Reescrever com exponencial para estudar o expoente:
Basta, portanto, calcular
.
- Usar a expansão logarítmica para
pequeno: . Tomando (que vai a quando ),
Multiplicando por
:
portanto
- Voltando à exponencial:
Conclusão para (c): a alternativa dizia que é indeterminação e que o valor é
. Ambas as partes estão corretas, logo (c) é VERDADEIRA.
Passo 6
Análise do item (d):
.
-
Observar o comportamento quando
: - numerador
, - denominador
.
Então a forma é, que é uma indeterminação em princípio (portanto afirmar que é “uma indeterminação” não está absurdo). Mas é preciso ver o valor do limite.
- numerador
-
Usar crescimento relativo ou L’Hôpital para decidir o limite. Pelo fato bem conhecido de que
cresce muito mais rápido que , a razão tende a . Aplicando L’Hôpital formalmente:
- Assim o limite não é
; diverge para .
Conclusão para (d): a alternativa afirma que é indeterminação e que o valor é
. A parte do valor está errada (o valor é
), logo (d) é FALSA.
Resposta
(b) e (c)