Marque a(s) alternativa(s) CORRETA(S).
(a) O limite \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{x} é uma indeterminação e seu valor é 1 .
(b) O limite \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{x} é uma indeterminação e seu valor é 1 .
(c) O limite \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2 x} é uma indeterminação e seu valor é e^{6}.
(d) O limite \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\ln x} é uma indeterminação e seu valor é 0 .

Passo 1

O enunciado pede: marcar quais alternativas entre (a), (b), (c) e (d) são CORRETAS. Vou listar claramente o que cada alternativa afirma (sem resolver ainda), para que fique claro o que cada item exige:
  • (a) Afirma que \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x} é uma indeterminação e que o valor desse limite é 1.
  • (b) Afirma que \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{x} é uma indeterminação e que o valor desse limite é 1.
  • (c) Afirma que \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x} é uma indeterminação e que o valor desse limite é e^{6}.
  • (d) Afirma que \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\ln x} é uma indeterminação e que o valor desse limite é 0.

Passo 2

Rápida lembrança didática sobre “indeterminações” e técnicas úteis (vai ajudar a entender os cálculos):
  • Uma “indeterminação” é uma forma limite que, à primeira vista, não dá o valor do limite (por exemplo 0/0, \infty/\infty, 1^{\infty}, \infty^{0}, etc.). Dizer que uma expressão é de tipo indeterminado não garante que o limite não exista — apenas diz que é preciso manipular a expressão.
  • Técnica muito útil para potências com base e expoente que variam é reescrever:
a(x)^{b(x)} = e^{\,b(x)\ln a(x)}.
Assim basta estudar o limite do expoente b(x)\ln a(x).
  • Para funções trigonométricas perto de zero, duas ferramentas simples e fortes:
    1. Identidade: \cos x - 1=-2\sin^2\!\big(\tfrac{x}{2}\big).
    2. Limite padrão: \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
  • L’Hôpital: se uma fração tem forma \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}, às vezes aplicando derivadas do numerador e denominador se resolve o limite.

Passo 3

Análise do item (a): \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}.
  1. Observar o comportamento das partes ao aproximar x\to 0:
    • \cos x \to 1, logo o numerador \cos x-1\to 0.
    • O denominador x\to 0.
      Então a forma é 0/0, uma indeterminação típica — mas precisa calcular o limite.
  2. Usar a identidade trigonométrica para manipular de forma limpa:
\cos x - 1 = -2\sin^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Logo
\frac{\cos x-1}{x} = -2\frac{\sin^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{x}.
  1. Reescrever \sin^2\!\big(\tfrac{x}{2}\big) em termos de \big(\tfrac{x}{2}\big)^2 e do quociente padrão \dfrac{\sin t}{t}:
\sin^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)=\left(\tfrac{x}{2}\right)^2\left(\frac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\tfrac{x}{2}}\right)^2.
Substituindo:
\frac{\cos x-1}{x} = -2\cdot\frac{\left(\tfrac{x}{2}\right)^2}{x}\left(\frac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\tfrac{x}{2}}\right)^2 = -\frac{x}{2}\left(\frac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\tfrac{x}{2}}\right)^2.
  1. Agora passar ao limite: quando x\to 0 temos \dfrac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\tfrac{x}{2}}\to 1. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x} = \lim_{x\to 0}\left(-\frac{x}{2}\cdot 1^2\right)=0.
Conclusão para (a): o limite existe e vale 0. A alternativa dizia que era indeterminação e que o valor era 1. A parte sobre “indeterminação” (a forma inicial era 0/0) é tecnicamente verdadeira ao classificar a forma, mas o valor afirmado 1 está errado. Como a alternativa combina as duas afirmações (é indeterminação e vale 1), a alternativa (a) é FALSA.

Passo 4

Análise do item (b): \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}.
  1. Observar a forma: quando x\to 0^{+},
    • a base \dfrac{1}{x}\to +\infty,
    • o expoente x\to 0^{+}.
      Então é da forma \infty^{0}, que é uma indeterminação. Logo a parte “é uma indeterminação” da alternativa está correta — resta verificar o valor.
  2. Reescrever usando exponencial natural:
\left(\frac{1}{x}\right)^{x} = e^{\,x\ln\!\left(\frac{1}{x}\right)} = e^{-x\ln x}.
  1. Estudar o expoente -x\ln x quando x\to 0^{+}. É útil lembrar o limite padrão
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln x = 0.
Breve justificativa (uma forma via L’Hôpital): escrever x\ln x=\dfrac{\ln x}{1/x}. Para x\to 0^{+}, \ln x\to -\infty e 1/x\to +\infty, então temos forma -\infty/\infty; aplicando L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to 0^{+}}(-x)=0.
Portanto x\ln x\to 0, e então -x\ln x\to 0.
  1. Consequência para a original:
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{x} = \lim_{x\to 0^{+}} e^{-x\ln x} = e^{0}=1.
Conclusão para (b): a alternativa afirma corretamente que é uma indeterminação e que o limite vale 1. Logo (b) é VERDADEIRA.

Passo 5

Análise do item (c): \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x}.
  1. Observar a forma: quando x\to\infty,
    • a base 1+\dfrac{3}{x}\to 1,
    • o expoente 2x\to\infty.
      Então é da forma 1^{\infty}, que é uma indeterminação — a parte “é uma indeterminação” da alternativa está correta.
  2. Reescrever com exponencial para estudar o expoente:
\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x} = e^{\,2x\ln\!\left(1+\frac{3}{x}\right)}.
Basta, portanto, calcular \displaystyle\lim_{x\to\infty}2x\ln\!\left(1+\frac{3}{x}\right).
  1. Usar a expansão logarítmica para u pequeno: \ln(1+u)=u+o(u). Tomando u=\dfrac{3}{x} (que vai a 0 quando x\to\infty),
\ln\!\left(1+\frac{3}{x}\right)=\frac{3}{x}+o\!\left(\frac{1}{x}\right).
Multiplicando por 2x:
2x\ln\!\left(1+\frac{3}{x}\right) = 2x\left(\frac{3}{x}+o\!\left(\frac{1}{x}\right)\right) = 6 + o(1),
portanto
\lim_{x\to\infty}2x\ln\!\left(1+\frac{3}{x}\right)=6.
  1. Voltando à exponencial:
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x} = e^{6}.
Conclusão para (c): a alternativa dizia que é indeterminação e que o valor é e^{6}. Ambas as partes estão corretas, logo (c) é VERDADEIRA.

Passo 6

Análise do item (d): \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\ln x}.
  1. Observar o comportamento quando x\to\infty:
    • numerador x\to\infty,
    • denominador \ln x\to\infty.
      Então a forma é \infty/\infty, que é uma indeterminação em princípio (portanto afirmar que é “uma indeterminação” não está absurdo). Mas é preciso ver o valor do limite.
  2. Usar crescimento relativo ou L’Hôpital para decidir o limite. Pelo fato bem conhecido de que x cresce muito mais rápido que \ln x, a razão tende a +\infty. Aplicando L’Hôpital formalmente:
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\ln x} = \lim_{x\to\infty}\frac{d}{dx}(x)\bigg/\frac{d}{dx}(\ln x) = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{1/x}=\lim_{x\to\infty}x = +\infty.
  1. Assim o limite não é 0; diverge para +\infty.
Conclusão para (d): a alternativa afirma que é indeterminação e que o valor é 0. A parte do valor está errada (o valor é +\infty), logo (d) é FALSA.

Resposta

(b) e (c)

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