Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
( ) Se \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=+\infty \mathrm{e} \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} converge, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F), dando uma demonstração ou um contra-exemplo. A afirmação é:
“Se \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty e \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n converge, então \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n converge.”
Informações relevantes dadas:
  • A sequência de razões satisfaz \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty.
  • A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n é convergente.
  • A pergunta: a partir daí podemos garantir que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n é convergente?

Passo 2

Vamos lembrar (de forma prática) alguns resultados que ajudam a pensar no problema.
  1. Teste da comparação simples (para séries de termos não-negativos):
    Se existirem constantes C>0 e N tais que, para todo n\ge N, 0\le a_n\le C\,b_n, e se \displaystyle\sum b_n converge, então \displaystyle\sum a_n também converge. A ideia é simples: termos menores que termos de uma série convergente também somam algo finito.
  2. Teste da comparação por limite (limit comparison test):
    Se a_n\ge0, b_n>0 e \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L com 0<L<+\infty, então as séries \displaystyle\sum a_n e \displaystyle\sum b_n têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem ou ambas divergem).
    Observação didática importante: esse teste exige que o limite seja um número finito e estritamente positivo. Se o limite for 0 ou +\infty, o teste não dá uma equivalência direta — ele só dá uma das direções num caso e nenhuma garantia no outro, por exemplo:
  • Se \displaystyle\lim\frac{a_n}{b_n}=0 e \sum b_n converge, então \sum a_n converge (porque a_n é muito menor que b_n eventualment e).
  • Se \displaystyle\lim\frac{a_n}{b_n}=+\infty, isso significa que a_n é muito maior que b_n eventualmente; a partir disso não se pode concluir sozinho se \sum a_n converge ou diverge — depende de como a_n se comporta.

Passo 3

Para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa, o caminho mais direto é apresentar um contra-exemplo: encontrar sequências (a_n) e (b_n) que satisfaçam as hipóteses (razão tende a +\infty e \sum b_n converge) mas para as quais \sum a_n diverge. Se encontrarmos tal exemplo, a afirmação é falsa.
Uma escolha natural, simples e clássica é tomar séries p-séries. Lembrar que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} converge se, e só se, p>1. Em particular:
  • \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} converge (pois p=2>1).
  • \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge (série harmônica, p=1).
Então vamos escolher
a_n=\frac{1}{n},\qquad b_n=\frac{1}{n^2}.

Passo 4

Verificar a condição do limite da razão:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\tfrac{1}{n}}{\tfrac{1}{n^2}}=n.
Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty} n = +\infty.
Portanto a hipótese \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty é satisfeita por essa escolha.

Passo 5

Verificar que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n converge:
\sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2},
é a série p-com p=2>1, portanto converge (conhecida como série de Basel, converge para \pi^2/6, mas esse valor exato não é necessário aqui — só importa a convergência).

Passo 6

Verificar que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge:
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e é bem conhecido que diverge. Um argumento rápido (clássico) para a divergência da harmônica: agrupe termos
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
cada bloco tem soma \ge \tfrac{1}{2}, logo a soma parcial cresce sem limite, portanto diverge.

Passo 7

Conclusão a partir do contra-exemplo: com a_n=\tfrac{1}{n} e b_n=\tfrac{1}{n^2} temos
  • \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty,
  • \displaystyle\sum b_n converge,
  • mas \displaystyle\sum a_n diverge.
Isso mostra que a afirmação proposta é falsa: as hipóteses não garantem a convergência de \displaystyle\sum a_n.

Resposta

(F)

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