Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
( ) Se
converge, então
converge.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar a afirmação como verdadeira
ou falsa
, dando uma demonstração ou um contra-exemplo. A afirmação é:
“Se
e
converge, então
converge.”
Informações relevantes dadas:
- A sequência de razões satisfaz
. - A série
é convergente. - A pergunta: a partir daí podemos garantir que
é convergente?
Passo 2
Vamos lembrar (de forma prática) alguns resultados que ajudam a pensar no problema.
-
Teste da comparação simples (para séries de termos não-negativos):
Se existirem constantese tais que, para todo , , e se converge, então também converge. A ideia é simples: termos menores que termos de uma série convergente também somam algo finito. -
Teste da comparação por limite (limit comparison test):
Se, e com , então as séries e têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem ou ambas divergem).
Observação didática importante: esse teste exige que o limite seja um número finito e estritamente positivo. Se o limite forou , o teste não dá uma equivalência direta — ele só dá uma das direções num caso e nenhuma garantia no outro, por exemplo:
- Se
e converge, então converge (porque é muito menor que eventualment e). - Se
, isso significa que é muito maior que eventualmente; a partir disso não se pode concluir sozinho se converge ou diverge — depende de como se comporta.
Passo 3
Para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa, o caminho mais direto é apresentar um contra-exemplo: encontrar sequências
e
que satisfaçam as hipóteses (razão tende a
e
converge) mas para as quais
diverge. Se encontrarmos tal exemplo, a afirmação é falsa.
Uma escolha natural, simples e clássica é tomar séries
-séries. Lembrar que a série
converge se, e só se,
. Em particular:
-
converge (pois ). -
diverge (série harmônica, ).
Então vamos escolher
Passo 4
Verificar a condição do limite da razão:
Logo
Portanto a hipótese
é satisfeita por essa escolha.
Passo 5
Verificar que
converge:
é a série
-com
, portanto converge (conhecida como série de Basel, converge para
, mas esse valor exato não é necessário aqui — só importa a convergência).
Passo 6
Verificar que
diverge:
que é a série harmônica e é bem conhecido que diverge. Um argumento rápido (clássico) para a divergência da harmônica: agrupe termos
cada bloco tem soma
, logo a soma parcial cresce sem limite, portanto diverge.
Passo 7
Conclusão a partir do contra-exemplo: com
e
temos
-
, -
converge, - mas
diverge.
Isso mostra que a afirmação proposta é falsa: as hipóteses não garantem a convergência de
.
Resposta
(F)