• Marque suas respostas nas caixas acima.
    1 (10 pontos) Considere que duas ondas deslocando-se em uma corda, sejam descritas pelas funções y1(x, t)=Y1 cos (k x-omega t)) e y2(x, t)=-Y2 cos (k x+omega t), onde Y1=4,79 m, k= 22,6 rad / m, omega=85,4 rad / s, Y2=6,17 m. (a) Considerando a velocidade relativa das ondas determine o valor da amplitude da onda resultante no tempo t=pi / 85,4 rad / s ? (b) Calcule o menor valor de x, no tempo t=pi / 85,4 rad / s, em que vai ocorrer interferência construtiva.
    (a) (G) -1,96 times 10^circ m, (H) 1,38 times 10^circ m, (I) -6,69 times 10^circ m, (J) 1,12 times 10^circ m,
    (b) (A) 2,03 times 10^-1 m, (B) 5,97 times 10^-2 m, © 4,10 times 10^-2 m, (D) 1,77 times 10^-1 m, (E) 6,95 times 10^-2 m, (F) 7.74 times 10^-2 m, (G) 5.29 times 10^-2 m, (H) 1,16 times 10^-1 m, (I) 2,99 times 10^-2 m, (J) 3.29 times 10^-2 m,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas ondas que estão viajando numa corda. As funções que descrevem essas ondas são:
y1(x, t) = Y1 cos(kx - omega t)
y2(x, t) = -Y2 cos(kx + omega t)
A gente tem os valores de $ Y_{1} = 4,79 , m $, $ Y_{2} = 6,17 , m $, $ k = 22,6 , rad/m $ e $ \omega = 85,4 , rad/s $. O que precisamos fazer é:
a) Calcular a amplitude da onda resultante no tempo $ t = \pi / \omega $.
b) Encontrar o menor valor de $ x $ nesse mesmo tempo onde ocorre interferência construtiva.
Para isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e interferência, além de manipular funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a amplitude da onda resultante no tempo dado. Para isso, precisamos somar as duas ondas:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = Y1 cos(kx - omega t) - Y2 cos(kx + omega t)

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica para somar cossenos:
cos A - cos B = -2 sin(A + B2) sin(A - B2)
Aplicando isso às nossas ondas:
y(x, t) = -2 sin((kx - omega t) + (kx + omega t)2) sin((kx - omega t) - (kx + omega t)2)
Simplificando:
y(x, t) = -2 sin(kx) sin(-omega t) = 2 sin(kx) sin(omega t)

Passo 4

Agora, a amplitude da onda resultante é a parte que multiplica a função senoidal, ou seja, $ 2 \sin(kx) $. Mas queremos a amplitude máxima, que ocorre quando $ \sin(kx) = 1 $:
2 sin(kx) á
No entanto, precisamos considerar os coeficientes das amplitudes originais:
sin(kx) = 1

Passo 5

Mas o exercício pede a amplitude no tempo específico $ t = \pi / \omega $. Vamos calcular $ \sin(\omega t) $ nesse instante:
t = pi / omega
sin(omega t)
Então, a amplitude no tempo $ t = \pi / \omega $ é:
omega t = 85,4 times pi85,4 = pi

Passo 6

Porém, olhando as alternativas, parece que há um erro na interpretação. Talvez a amplitude seja considerada diferente. Vamos recalcular usando a superposição direta:
y(x, t) = Y1 cos(kx - omega t) - Y2 cos(kx + omega t)
Com $ t = \pi / \omega $:
t = pi / omega
y(x, t) = 4,79 cos(kx - pi) - 6,17 cos(kx + pi)
cos(kx - pi) = -cos(kx)
cos(kx + pi) = -cos(kx)

Resposta

A amplitude da onda resultante no tempo $ t = \pi / 85,4 , rad/s $ é $ 1,38 \times 10^{\circ} \mathrm{m} $.

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