O vetor posição r de um ponto qualquer P no plano x, y fica também completamente caracterizado pelo seu módulo r e pelo ângulo theta que faz com o eixo x ( r e theta são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Expresse:
o vetor r em termos dos unitários i e j;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor posição r que está num plano x, y. Esse vetor é descrito pelo seu comprimento r e pelo ângulo theta que ele faz com o eixo x. Nosso objetivo aqui é escrever esse vetor r usando os vetores unitários i e j, que são os vetores nas direções dos eixos x e y, respectivamente. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no plano pode ser decomposto nas suas componentes ao longo dos eixos x e y. Isso significa que podemos escrever r como a soma dessas componentes multiplicadas pelos vetores unitários correspondentes:
r = xi + yj
Aqui, x é a componente do vetor na direção do eixo x, e y é a componente na direção do eixo y.

Passo 3

Como estamos trabalhando com coordenadas polares, sabemos que x e y podem ser expressos em termos de r e theta usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
x = rcostheta
y = rsintheta
Essas relações vêm do fato de que, em um triângulo retângulo formado pelo vetor r, as projeções nas direções x e y são dadas pelo cosseno e seno do ângulo theta, respectivamente.

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões de x e y na equação original do vetor r:
r = (rcostheta)i + (rsintheta)j
Isso nos dá o vetor r totalmente descrito em termos dos vetores unitários i e j.

Resposta

Portanto, o vetor posição r em termos dos unitários i e j é:
r = rcostheta,i + rsintheta,j

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