O vetor posição
de um ponto qualquer
no plano
fica também completamente caracterizado pelo seu módulo
e pelo ângulo
que faz com o eixo
(
e
são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Expresse:
o vetor
em termos dos unitários
e
;
Expresse:
o vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor posição
que está num plano
. Esse vetor é descrito pelo seu comprimento
e pelo ângulo
que ele faz com o eixo
. Nosso objetivo aqui é escrever esse vetor
usando os vetores unitários
e
, que são os vetores nas direções dos eixos
e
, respectivamente. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no plano pode ser decomposto nas suas componentes ao longo dos eixos
e
. Isso significa que podemos escrever
como a soma dessas componentes multiplicadas pelos vetores unitários correspondentes:
Aqui,
é a componente do vetor na direção do eixo
, e
é a componente na direção do eixo
.
Passo 3
Como estamos trabalhando com coordenadas polares, sabemos que
e
podem ser expressos em termos de
e
usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
Essas relações vêm do fato de que, em um triângulo retângulo formado pelo vetor
, as projeções nas direções
e
são dadas pelo cosseno e seno do ângulo
, respectivamente.
Passo 4
Agora, substituímos essas expressões de
e
na equação original do vetor
:
Isso nos dá o vetor
totalmente descrito em termos dos vetores unitários
e
.
Resposta
Portanto, o vetor posição
em termos dos unitários
e
é: