Marque todas as alternativas corretas:
( ) Se
é um número racional não nulo e
é um número irracional, então
e
também são números irracionais.
( ) Se
e
são números irracionais, então
é também um número irracional.
( ) Se
é um número racional, então
e
são números racionais.
( ) Se
, então
.
( ) Se
e
são números irracionais, então
é irracional.
( ) Dado
, sempre existe
tal que
.
( ) A soma de dois números racionais é também um número racional.
( ) Se
é raiz da equação
, com
, então
é um número inteiro.
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Dado
( ) A soma de dois números racionais é também um número racional.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais das oito afirmações sobre números racionais, irracionais e propriedades algébricas são sempre verdadeiras.
Passo 2
Analisando a afirmação 1: “Se
é racional não nulo e
é irracional, então
e
são irracionais.”
A soma de um racional com um irracional jamais é racional e, se , o produto de um racional com um irracional também é irracional. Logo, essa afirmação é verdadeira.
A soma de um racional com um irracional jamais é racional e, se
Passo 3
Analisando a afirmação 2: “Se
e
são irracionais, então
é irracional.”
Contraexemplo: e
são irracionais, mas
é racional. Portanto, é falsa.
Contraexemplo:
Passo 4
Analisando a afirmação 3: “Se
é racional, então
e
são racionais.”
Contraexemplo: e
têm soma
racional, embora cada um seja irracional. Logo, é falsa.
Contraexemplo:
Passo 5
Analisando a afirmação 4: “Se
, então
.”
Isso só vale se . Para
qualquer
satisfazem
. Sem a hipótese
, a afirmação é falsa.
Isso só vale se
Passo 6
Analisando a afirmação 5: “Se
e
são irracionais, então
é irracional.”
Existem exemplos de base e expoente irracionais cujo resultado é racional (prova clássica envolvendo ). Logo, essa afirmação não é válida em geral.
Existem exemplos de base e expoente irracionais cujo resultado é racional (prova clássica envolvendo
Passo 7
Analisando a afirmação 6: “Dado
, sempre existe
tal que
.”
Isso é exatamente o Princípio Arquimediano do conjunto dos números reais. Portanto, é verdadeira.
Isso é exatamente o Princípio Arquimediano do conjunto dos números reais. Portanto, é verdadeira.
Passo 8
Analisando a afirmação 7: “A soma de dois números racionais é racional.”
É uma propriedade básica dos números racionais (fechamento sob adição). Logo, é verdadeira.
É uma propriedade básica dos números racionais (fechamento sob adição). Logo, é verdadeira.
Passo 9
Analisando a afirmação 8: “Se
é raiz de
, com
, então
é inteiro.”
Como o polinômio é monico (coeficiente líder = 1), o Teorema das Raízes Racionais diz que quaisquer raízes racionais devem ser inteiras, mas podem haver raízes irracionais (por exemplo, tem raízes
). Logo, nem toda raiz é inteira, e a afirmação é falsa.
Como o polinômio é monico (coeficiente líder = 1), o Teorema das Raízes Racionais diz que quaisquer raízes racionais devem ser inteiras, mas podem haver raízes irracionais (por exemplo,
Resposta
As afirmações corretas são a 1, a 6 e a 7.