Marque todas as alternativas corretas:
( ) Se r é um número racional não nulo e alpha é um número irracional, então r+alpha e r cdot alpha também são números irracionais.
( ) Se alpha e beta são números irracionais, então alpha+beta é também um número irracional.
( ) Se alpha+beta é um número racional, então alpha e beta são números racionais.
( ) Se a cdot b=a cdot c, então b=c.
( ) Se x e y são números irracionais, então x^y é irracional.
( ) Dado x in R, sempre existe n in N tal que n>x.
( ) A soma de dois números racionais é também um número racional.
( ) Se r é raiz da equação x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0=0, com ak in Z, então r é um número inteiro.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das oito afirmações sobre números racionais, irracionais e propriedades algébricas são sempre verdadeiras.

Passo 2

Analisando a afirmação 1: “Se r é racional não nulo e alpha é irracional, então r+alpha e rcdotalpha são irracionais.”
A soma de um racional com um irracional jamais é racional e, se rneq0, o produto de um racional com um irracional também é irracional. Logo, essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação 2: “Se alpha e beta são irracionais, então alpha+beta é irracional.”
Contraexemplo: alpha=raiz2 e beta=-raiz2 são irracionais, mas alpha+beta=0 é racional. Portanto, é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação 3: “Se alpha+beta é racional, então alpha e beta são racionais.”
Contraexemplo: alpha=raiz2 e beta=2-raiz2 têm soma 2 racional, embora cada um seja irracional. Logo, é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação 4: “Se acdot b = acdot c, então b=c.”
Isso só vale se aneq0. Para a=0 qualquer b,c satisfazem 0cdot b=0cdot c. Sem a hipótese aneq0, a afirmação é falsa.

Passo 6

Analisando a afirmação 5: “Se x e y são irracionais, então x^y é irracional.”
Existem exemplos de base e expoente irracionais cujo resultado é racional (prova clássica envolvendo raiz2^raiz2). Logo, essa afirmação não é válida em geral.

Passo 7

Analisando a afirmação 6: “Dado xin R, sempre existe nin N tal que n>x.”
Isso é exatamente o Princípio Arquimediano do conjunto dos números reais. Portanto, é verdadeira.

Passo 8

Analisando a afirmação 7: “A soma de dois números racionais é racional.”
É uma propriedade básica dos números racionais (fechamento sob adição). Logo, é verdadeira.

Passo 9

Analisando a afirmação 8: “Se r é raiz de x^n + an-1x^n-1 + cdots + a1 x + a0 = 0, com akin Z, então r é inteiro.”
Como o polinômio é monico (coeficiente líder = 1), o Teorema das Raízes Racionais diz que quaisquer raízes racionais devem ser inteiras, mas podem haver raízes irracionais (por exemplo, x^2-2=0 tem raízes pmraiz2). Logo, nem toda raiz é inteira, e a afirmação é falsa.

Resposta

As afirmações corretas são a 1, a 6 e a 7.

Exercícios relacionados