Mostre que a união de conjuntos enumeráveis é também enumerável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos dois conjuntos enumeráveis (ou seja, existem enumerações de cada um deles), então a união desses conjuntos também admite uma enumeração. O conteúdo envolve a definição de conjunto enumerável (existência de surjeção ou bijeção com
) e a construção de uma enumeração para a união.
Passo 2
Um conjunto
é chamado de enumerável se existe uma surjeção
(ou bijeção com
no caso infinito). Sejam
e
dois conjuntos enumeráveis. Então, existem surjeções
Passo 3
Para construir uma enumeração da união
, vamos intercalar as imagens de
e
. Definimos a função
da seguinte forma:
Passo 4
Agora, mostramos que
é sobrejetora em
. Se
, então ou
ou
. Se
, existe
tal que
e então
. Se
, existe
tal que
e então
. Logo, todo
tem um pré-imagem por
.
Passo 5
Como encontramos uma surjeção
, concluímos que
é enumerável.
Resposta
A união de dois conjuntos enumeráveis é enumerável, pois podemos construir explicitamente uma enumeração intercalando as enumerações de cada conjunto.