Seja f: R R tal que f(x+y)=f(x)+f(y) para quaisquer x, y in R. Prove que f(r)= ar para todo r in Q.

Passo 1

A questão dá uma função aditiva, ou seja, satisfaz f(x+y)=f(x)+f(y) para todo real. O que queremos é mostrar que, para qualquer racional r, vale f(r)=a,r, onde definimos a=f(1). Vamos usar as propriedades de homomorfismo da soma.

Passo 2

Primeiro, obtenha f(0) e a relação com negativos. Tomando y=0 em f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=f(x)+f(0), logo f(0)=0. Agora, como 0=f(x+(-x))=f(x)+f(-x), temos f(-x)=-f(x).

Passo 3

Em seguida, prove que f(n)=n,a para inteiros n. Para n=1 já tem f(1)=a. Suponha f(n)=n,a e use f((n+1))=f(n+1)=f(n)+f(1)=n,a+a=(n+1)a para o passo de indução. Para n<0, use f(-n)= -f(n)= -n,a, então de fato f(n)=n,a para todo ninZ.

Passo 4

Agora trate o inverso multiplicativo dos inteiros. Se q>0 é inteiro, considere fl(qcdottfrac1qr)=f(1)=a. Pela aditividade, f(qcdottfrac1q)=q,f(1/q). Logo
q,f(1/q)=aLongrightarrow f(1/q)=aq

Passo 5

Finalmente, para um racional r=tfracpq com pinZ e q>0, usamos
fl(pqr)=fl(pcdot(1/q)r)=p,f(1/q)=p,aq=a,pq

Passo 6

Isso cobre também os p<0 graças a f(-x)=-f(x). Portanto, mostramos que f(r)=a,r para todo rinQ.

Resposta

f(r)=a,r para todo rinQ.

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