Seja
tal que
para quaisquer
. Prove que
ar para todo
.
Passo 1
A questão dá uma função aditiva, ou seja, satisfaz
para todo real. O que queremos é mostrar que, para qualquer racional
, vale
, onde definimos
. Vamos usar as propriedades de homomorfismo da soma.
Passo 2
Primeiro, obtenha
e a relação com negativos. Tomando
em
dá
, logo
. Agora, como
, temos
.
Passo 3
Em seguida, prove que
para inteiros
. Para
já tem
. Suponha
e use
para o passo de indução. Para
, use
, então de fato
para todo
.
Passo 4
Agora trate o inverso multiplicativo dos inteiros. Se
é inteiro, considere
. Pela aditividade,
. Logo
Passo 5
Finalmente, para um racional
com
e
, usamos
Passo 6
Isso cobre também os
graças a
. Portanto, mostramos que
para todo
.