Marque
se verdadeiro e
se falso. Justifique cada alternativa.
Passo 1
O enunciado pede para marcarmos cada afirmativa sobre séries numéricas como verdadeira ou falsa, justificando. Para isso usaremos:
– O teste da divergência (se então a série diverge; mas
não garante convergência).
– Testes de comparação e limite comparativo.
– Propriedades de soma de séries, multiplicação por escalar e soma termo a termo.
– Exemplos clássicos (série harmônica, séries alternadas, etc.) para contraprovas.
– O teste da divergência (se
– Testes de comparação e limite comparativo.
– Propriedades de soma de séries, multiplicação por escalar e soma termo a termo.
– Exemplos clássicos (série harmônica, séries alternadas, etc.) para contraprovas.
Passo 2
(a) “Se
então
converge.”
Isso é falso. O teste da divergência exige , mas não é suficiente. Contrarrexemplo: se
, então
mas
Isso é falso. O teste da divergência exige
é a série harmônica, que diverge.
Passo 3
(b) “Se
diverge então
diverge.”
Também é falso. Exemplo: para ,
diverge, mas
Também é falso. Exemplo: para
converge (é a série de Basel).
Passo 4
(c) “Se
converge então
diverge.”
Isso é verdadeiro. Se converge então
. Logo
, não é zero, e pelo teste da divergência a série de
diverge.
Isso é verdadeiro. Se
Passo 5
(d) “Se
diverge e
então
converge.”
É falso. Basta escolher :
diverge e
, mas
É falso. Basta escolher
é divergentíssima.
Passo 6
(e) “Se
e
converge então
converge.”
Falso. A condição implica
muito maior que
. Se
converge,
diverge por comparação direta. Exemplo:
,
dá
,
converge e
diverge.
Falso. A condição
Passo 7
(f) “Se
e
são convergentes então
converge.”
Isso é falso sem hipótese de convergência absoluta. Exemplo: e
convergem (séries alternadas), mas
Isso é falso sem hipótese de convergência absoluta. Exemplo:
e
diverge.
Passo 8
(g) “Se
e
são divergentes então
é divergente.”
Também falso. Basta e
; cada série diverge, mas
e
converge.
Também falso. Basta
Passo 9
(h) “Se
é divergente e
então
também diverge.”
Verdadeiro. Multiplicar por escalar não muda o caráter divergente (a menos de , que zeraria todos os termos).
Verdadeiro. Multiplicar por escalar não muda o caráter divergente (a menos de
Passo 10
(i) “Se
é convergente e
é divergente então
é divergente.”
Verdadeiro. As somas parciais de são a soma das parciais de cada série; se uma diverge, a combinação tende a divergir.
Verdadeiro. As somas parciais de
Passo 11
(j) “Se
é convergente, então
também é convergente.”
Verdadeiro. Remover um número finito de termos a
não afeta a convergência do restante da série.
Verdadeiro. Remover um número finito de termos
Resposta
a) F
b) F
c) V
d) F
e) F
f) F
g) F
h) V
i) V
j) V
b) F
c) V
d) F
e) F
f) F
g) F
h) V
i) V
j) V