Marque V se verdadeiro e F se falso. Justifique cada alternativa.
\begin{aligned} & a)(\quad) \text { Se } \lim a_{n}=0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { converge. } \\ & b)(\quad) \text { Se } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { diverge } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \text { diverge. } \\ & c)(\quad) \text { Se } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { converge } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} \text { diverge. } \\ & d)(\quad) \text { Se } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { diverge e } a_{n} \neq 0 \forall n \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} \text { converge. } \\ & e)(\quad) \text { Se } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty \text { e } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { converge } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { converge. } \\ & f)(\quad) \text { Se } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { e } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { são convergentess } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n} \text { converge. } \\ & g)(\quad) \text { Se } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { e } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { são divergentes } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \text { é divergente. } \\ & h)(\quad) \text { Se } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { é divergente e } \lambda \neq 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \lambda a_{n} \text { também diverge. } \\ & i)(\quad) \text { Se } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { é convergente e } \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { é divergente } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \text { é divergente. } \\ & j)(\quad) \text { Se } \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { é convergente, então } \sum_{n=100}^{\infty} a_{n} \text { também é convergente. } \end{aligned}ããéééééééãéé

Passo 1

O enunciado pede para marcarmos cada afirmativa sobre séries numéricas como verdadeira ou falsa, justificando. Para isso usaremos:
– O teste da divergência (se \lim a_n\neq0 então a série diverge; mas \lim a_n=0 não garante convergência).
– Testes de comparação e limite comparativo.
– Propriedades de soma de séries, multiplicação por escalar e soma termo a termo.
– Exemplos clássicos (série harmônica, séries alternadas, etc.) para contraprovas.

Passo 2

(a) “Se \lim a_{n}=0 então \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge.”
Isso é falso. O teste da divergência exige \lim a_{n}=0, mas não é suficiente. Contrarrexemplo: se a_{n} = \tfrac1n, então \lim a_{n}=0 mas
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n
é a série harmônica, que diverge.

Passo 3

(b) “Se \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} diverge então \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2} diverge.”
Também é falso. Exemplo: para a_{n}=\tfrac1n, \sum a_{n} diverge, mas
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2}}
converge (é a série de Basel).

Passo 4

(c) “Se \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge então \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac1{a_{n}} diverge.”
Isso é verdadeiro. Se \sum a_{n} converge então \lim a_{n}=0. Logo \lim\frac1{a_{n}}=\pm\infty, não é zero, e pelo teste da divergência a série de \tfrac1{a_{n}} diverge.

Passo 5

(d) “Se \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} diverge e a_{n}\neq0\\ \forall n então \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac1{a_{n}} converge.”
É falso. Basta escolher a_{n}=\tfrac1n: \sum a_{n} diverge e a_{n}\neq0, mas
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}n
é divergentíssima.

Passo 6

(e) “Se \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty e \sum b_{n} converge então \sum a_{n} converge.”
Falso. A condição \frac{a_{n}}{b_{n}}\to\infty implica a_{n} muito maior que b_{n}. Se \sum b_{n} converge, \sum a_{n} diverge por comparação direta. Exemplo: b_{n}=1/n^{2}, a_{n}=1/n \tfrac{a_{n}}{b_{n}}=n\to\infty, \sum b_{n} converge e \sum a_{n} diverge.

Passo 7

(f) “Se \sum a_{n} e \sum b_{n} são convergentes então \sum a_{n}b_{n} converge.”
Isso é falso sem hipótese de convergência absoluta. Exemplo: a_{n}=(-1)^{n}/\sqrt{n} e b_{n}=(-1)^{n}/\sqrt{n} convergem (séries alternadas), mas
a_{n}b_{n}=\frac{1}{n}
e \sum1/n diverge.

Passo 8

(g) “Se \sum a_{n} e \sum b_{n} são divergentes então \sum(a_{n}+b_{n}) é divergente.”
Também falso. Basta a_{n}=1/n e b_{n}=-1/n; cada série diverge, mas a_{n}+b_{n}=0 e \sum0 converge.

Passo 9

(h) “Se \sum a_{n} é divergente e \lambda\neq0 então \sum\lambda\,a_{n} também diverge.”
Verdadeiro. Multiplicar por escalar não muda o caráter divergente (a menos de \lambda=0, que zeraria todos os termos).

Passo 10

(i) “Se \sum a_{n} é convergente e \sum b_{n} é divergente então \sum(a_{n}+b_{n}) é divergente.”
Verdadeiro. As somas parciais de \sum(a_{n}+b_{n}) são a soma das parciais de cada série; se uma diverge, a combinação tende a divergir.

Passo 11

(j) “Se \sum a_{n} é convergente, então \sum_{n=100}^{\infty}a_{n} também é convergente.”
Verdadeiro. Remover um número finito de termos n=1 a 99 não afeta a convergência do restante da série.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) F
e) F
f) F
g) F
h) V
i) V
j) V

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