No que segue
e
. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não converge.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas e, em particular, a técnica de séries telescópicas via frações parciais.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Para
:
impondo
e identificando coeficientes, vê-se facilmente que
e
. Logo
Passo 3
Formamos a soma parcial
. Note o cancelamento em cascata (telescópico):
Passo 4
Ao passar ao limite
, obtemos
Portanto a série converge e seu valor soma-se a
.
Resposta
A série converge e seu valor é
.