No que segue a \in(0,1) e b>0. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não converge.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}.
O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas e, em particular, a técnica de séries telescópicas via frações parciais.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Para n\ge2:
\frac{1}{n(n-1)} =\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n}
impondo
1 = A\,n + B\,(n-1)
e identificando coeficientes, vê-se facilmente que A=1 e B=-1. Logo
\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}.

Passo 3

Formamos a soma parcial S_{N} = \sum_{n=2}^{N} \bigl(\tfrac{1}{n-1}-\tfrac{1}{n}\bigr). Note o cancelamento em cascata (telescópico):
S_{N} = \Bigl(1-\tfrac12\Bigr) + \Bigl(\tfrac12-\tfrac13\Bigr) + \cdots + \Bigl(\tfrac{1}{N-1}-\tfrac{1}{N}\Bigr) = 1 - \frac{1}{N}.

Passo 4

Ao passar ao limite N\to\infty, obtemos
\lim_{N\to\infty}S_{N} = 1.
Portanto a série converge e seu valor soma-se a 1.

Resposta

A série converge e seu valor é 1.

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