Determine o domínio, as raízes (se existirem) e assíntotas das funções abaixo e faça um esboço do gráfico.
k(x)=\frac{x^{2}-6 x+10}{9-6 x+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para a função
k(x)=\frac{x^{2}-6x+10}{9-6x+x^{2}}
determinarmos o domínio, as raízes reais (se existirem), as assíntotas e fazermos um esboço do gráfico. Vamos usar conceitos de função racional: domínio pela anulação do denominador, zero da função pela anulação do numerador e assíntotas vertical e horizontal conforme grau do numerador e do denominador.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja diferente de zero:
9-6x+x^{2}=x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}\neq 0
Logo, x\neq 3 e, portanto,
\text{Domínio} = \mathbb{R}\setminus\{3\}.í

Passo 3

As raízes reais aparecem quando o numerador zera:
x^{2}-6x+10=0.
O discriminante é
\Delta =(-6)^{2}-4\cdot1\cdot10=36-40=-4<0,
logo não há raízes reais.

Passo 4

Para as assíntotas:
– Vertical: onde o denominador zera e não há cancelamento, isto é, em x=3. Então x=3 é assíntota vertical.
– Horizontal: os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), então
y=\frac{\text{coeficiente de }x^{2}\text{ do numerador}}{\text{coeficiente de }x^{2}\text{ do denominador}} =\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Para entender melhor o comportamento, fazemos a divisão simbólica:
k(x) =\frac{x^{2}-6x+10}{x^{2}-6x+9} =1+\frac{1}{x^{2}-6x+9} =1+\frac{1}{(x-3)^{2}}.

Passo 6

Analisando k(x)=1+(x-3)^{-2}:
– Para x\to\pm\infty, (x-3)^{-2}\to 0^{+}, então k(x)\to1^{+}.
– Para x\to3^{\pm}, (x-3)^{-2}\to+\infty, logo k(x)\to+\infty dos dois lados.
– A derivada é
k'(x)=-2\,(x-3)^{-3},
que é positiva em x<3 e negativa em x>3. Assim, k cresce em (-\infty,3) e decresce em (3,\infty).

Passo 7

Esboço do gráfico:
– Dois ramos desconectados, um em (-\infty,3) e outro em (3,\infty).
– Em ambos, k(x)>1.
– Cada ramo parte de k\to1^{+} quando x\to\pm\infty e sobe para +\infty ao se aproximar de x=3.
– Assíntotas: reta vertical x=3 e reta horizontal y=1.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{3\}
Raízes reais: não existem
Assíntotas: vertical em x=3 e horizontal em y=1
Esboço: dois ramos acima de y=1, crescendo em (-\infty,3) e decrescendo em (3,\infty), com k\to1^{+} em \pm\infty e k\to+\infty em x\to3^{\pm}.

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