Determine o domínio, as raízes (se existirem) e assíntotas das funções abaixo e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos o domínio, as raízes reais (se existirem), as assíntotas e fazermos um esboço do gráfico. Vamos usar conceitos de função racional: domínio pela anulação do denominador, zero da função pela anulação do numerador e assíntotas vertical e horizontal conforme grau do numerador e do denominador.
Passo 2
Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja diferente de zero:
Logo,
e, portanto,
Passo 3
As raízes reais aparecem quando o numerador zera:
O discriminante é
logo não há raízes reais.
Passo 4
Para as assíntotas:
– Vertical: onde o denominador zera e não há cancelamento, isto é, em . Então
é assíntota vertical.
– Horizontal: os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), então
– Vertical: onde o denominador zera e não há cancelamento, isto é, em
– Horizontal: os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), então
Passo 5
Para entender melhor o comportamento, fazemos a divisão simbólica:
Passo 6
Analisando
:
– Para ,
, então
.
– Para ,
, logo
dos dois lados.
– A derivada é
– Para
– Para
– A derivada é
que é positiva em
e negativa em
. Assim,
cresce em
e decresce em
.
Passo 7
Esboço do gráfico:
– Dois ramos desconectados, um em e outro em
.
– Em ambos, .
– Cada ramo parte de quando
e sobe para
ao se aproximar de
.
– Assíntotas: reta vertical e reta horizontal
.
– Dois ramos desconectados, um em
– Em ambos,
– Cada ramo parte de
– Assíntotas: reta vertical
Resposta
Domínio:
Raízes reais: não existem
Assíntotas: vertical em e horizontal em
Esboço: dois ramos acima de , crescendo em
e decrescendo em
, com
em
e
em
.
Raízes reais: não existem
Assíntotas: vertical em
Esboço: dois ramos acima de