Uma massa de 100 g estica uma mola 10 cm . Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de
. Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento. Determine a posição
em função do tempo
.
(b) Se a massa é puxada para baixo esticando a mola 1 cm e depois colocada em movimento com uma velocidade para baixo de
.
(b) Se a massa é puxada para baixo esticando a mola 1 cm e depois colocada em movimento com uma velocidade para baixo de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 100 g que estica uma mola em 10 cm. A gente precisa descobrir três coisas sobre o movimento dessa massa na mola: a frequência, o período e a amplitude. Depois, vamos escrever a posição
em função do tempo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) e a Lei de Hooke.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as unidades para facilitar os cálculos. A massa está em gramas e o alongamento da mola em centímetros, então vamos manter essas unidades.
- Massa (
): 100 g - Alongamento (
): 10 cm - Aceleração da gravidade (
):
Passo 3
Vamos usar a Lei de Hooke para encontrar a constante da mola (
). A Lei de Hooke diz que
, onde
é a força aplicada,
é a constante da mola e
é a deformação.
A força
aqui é a força peso da massa:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar a frequência angular (
) do movimento. A fórmula para
em um MHS é:
Substituindo os valores:
Passo 5
A frequência (
) está relacionada com a frequência angular pela fórmula:
Então:
Passo 6
O período (
) é o inverso da frequência:
Passo 7
A amplitude (
) do movimento é a máxima deslocamento da posição de equilíbrio. No caso, inicialmente a mola está esticada 10 cm, então:
Passo 8
Para encontrar a posição
em função do tempo, usamos a equação do MHS:
Onde
é a fase inicial. Se considerarmos que no tempo
a posição é máxima e a velocidade inicial é zero, então
. Assim:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b) da questão. A massa é puxada para baixo esticando a mola em 1 cm e depois liberada com uma velocidade inicial para baixo de
. Precisamos atualizar a posição
considerando essas novas condições iniciais.
Passo 10
Com a nova amplitude inicial sendo 1 cm e uma velocidade inicial
para baixo, a equação de movimento passa a ter uma fase inicial diferente.
A equação geral do MHS com amplitude
e fase
é:
Para incorporar a velocidade inicial, usamos a condição
, onde a velocidade positiva é para cima e negativa para baixo.
Passo 11
Substituindo os valores:
Resolvendo para
:
Passo 12
Substituindo
na equação de
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
- Posição em função do tempo (parte b):