Encontre a solução do problema de valor inicial dado utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(d) y'' + 4y = 3 sen(2t) ; y(0) = 2 ; y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Aqui, temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo principal é o método dos coeficientes indeterminados, que usamos para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares. Vamos precisar entender como separar a solução geral em parte homogênea e particular, e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos dividir a solução geral em duas partes:
  1. Solução da Equação Homogênea ( ): Resolvida associando a equação homogênea .
  2. Solução Particular ( ): Encontrada usando o método dos coeficientes indeterminados para a parte não homogênea .

Passo 4

Começamos resolvendo a equação homogênea:
A equação característica é:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Agora, encontramos a solução particular para a equação completa:
Usamos o método dos coeficientes indeterminados e assumimos a forma da solução particular baseada no lado direito da equação. Como temos , que é uma solução da homogênea, multiplicamos por para evitar a duplicação:
onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Simplificando:

Passo 7

Substituímos e na equação diferencial:
Observamos que os termos com se cancelam, restando:

Passo 8

Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Calculamos :
Avaliando em :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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