Resolva pelo método de separação de variáveis:
u_xx + u_yy = 0, u(0, y) = 1, u(pi, y) = 1, u(x, 0) = 0, u(x, pi) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema que temos está relacionado com equações diferenciais parciais, mais especificamente a equação de Laplace. A gente vai usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução. Precisaremos dividir a função em partes que dependem apenas de e apenas de , e então resolver as equações que surgirem.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções separadas:
Isso nos permite separar as variáveis e em equações diferentes.

Passo 3

Substituindo na equação de Laplace , temos:
Dividindo ambos os lados por :
Isso pode ser reescrito como:
Onde é uma constante separadora.

Passo 4

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :
Vamos resolver essas equações.

Passo 5

Considerando as condições de contorno e , aplicamos essas condições na solução geral de . A solução de que satisfaz essas condições homogêneas envolve funções trigonométricas.

Passo 6

A solução geral para será uma combinação de funções senoidais e cossenoidais, dependendo do valor de .

Passo 7

Aplicando as condições de contorno e , determinamos os coeficientes das séries de Fourier que aparecem na solução.

Passo 8

Após resolver as equações e aplicar as condições de contorno, obtemos a solução particular para que satisfaz todas as condições dadas.

Resposta

A solução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis é dada por:
Essa série converge para a função que satisfaz todas as condições de contorno especificadas no problema.

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