Um massa
segue sobre um caminho genérico porém restrito a uma superfície esférica de raio constante igual a
. Escreva o vetor posição sobre a esfera em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado dá uma massa
que se move sobre uma superfície esférica de raio constante
e pede: escrever o vetor posição sobre a esfera em coordenadas esféricas.
Informações relevantes: raio fixo ; a partícula fica sobre a superfície esférica (logo a coordenada radial é fixa). A pergunta é apenas escrever o vetor posição em termos das coordenadas esféricas.
Informações relevantes: raio fixo
Passo 2
Primeiro, vamos fixar a convenção de coordenadas esféricas que vamos usar (a mais comum em física): a posição de um ponto é dada por três valores
, onde:
-
é a distância radial ao origem (no nosso caso, porque a partícula está na superfície); -
é o ângulo polar (ou colatitude), medido a partir do eixo positivo, com ; -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo, com .
Expliquei isso porque é fundamental saber o que cada símbolo significa para não confundir com outras convenções (por exemplo, algumas áreas usam
como azimutal — aqui não).
Passo 3
Agora, escrevemos o vetor posição em coordenadas cartesianas usando a relação entre coordenadas esféricas e cartesianas. Se um ponto tem coordenadas esféricas
, suas componentes cartesianas
são:
Essas fórmulas vêm da projeção:
projeta no plano
e
dividem essa projeção entre
e
.
Passo 4
O vetor posição em notação vetorial cartesiana é
Substituindo as expressões de
em termos de
, obtemos
Passo 5
Como a partícula está sobre a superfície da esfera de raio fixo, tomamos
. Assim o vetor posição fica simplesmente
Uma forma alternativa, compacta e muito útil, é escrever isso em termos do versor radial
, que aponta do centro para o ponto:
logo
Passo 6
Para fixar a ideia, um par de exemplos rápidos:
- Se
e (equador em direção positivo), então . - Se
(polo norte), então .
Esses exemplos ajudam a verificar se as fórmulas estão corretas.