Um massa m=177 \mathrm{~kg} segue sobre um caminho genérico porém restrito a uma superfície esférica de raio constante igual a \mathrm{R}=354 \mathrm{~m}. Escreva o vetor posição sobre a esfera em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado dá uma massa \,m=177\\ \mathrm{kg}\, que se move sobre uma superfície esférica de raio constante \,R=354\\ \mathrm{m}\, e pede: escrever o vetor posição sobre a esfera em coordenadas esféricas.
Informações relevantes: raio fixo \,R=354\\ \mathrm{m}\,; a partícula fica sobre a superfície esférica (logo a coordenada radial é fixa). A pergunta é apenas escrever o vetor posição em termos das coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fixar a convenção de coordenadas esféricas que vamos usar (a mais comum em física): a posição de um ponto é dada por três valores \,(r,\theta,\varphi)\,, onde:
  • \,r\, é a distância radial ao origem (no nosso caso, \,r=R\, porque a partícula está na superfície);
  • \,\theta\, é o ângulo polar (ou colatitude), medido a partir do eixo z positivo, com 0\le\theta\le\pi;
  • \,\varphi\, é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo, com 0\le\varphi<2\pi.
Expliquei isso porque é fundamental saber o que cada símbolo significa para não confundir com outras convenções (por exemplo, algumas áreas usam \theta como azimutal — aqui não).

Passo 3

Agora, escrevemos o vetor posição em coordenadas cartesianas usando a relação entre coordenadas esféricas e cartesianas. Se um ponto tem coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), suas componentes cartesianas (x,y,z) são:
x = r\,\sin\theta\,\cos\varphi
y = r\,\sin\theta\,\sin\varphi
z = r\,\cos\theta
Essas fórmulas vêm da projeção: \sin\theta projeta no plano xy e \cos\varphi,\sin\varphi dividem essa projeção entre x e y.

Passo 4

O vetor posição em notação vetorial cartesiana é
\vec{r} = x\,\hat{\imath} + y\,\hat{\jmath} + z\,\hat{k}.
Substituindo as expressões de \,x,y,z\, em termos de (r,\theta,\varphi), obtemos
\vec{r} = r\sin\theta\cos\varphi\\ \hat{\imath} \;+\; r\sin\theta\sin\varphi\\ \hat{\jmath} \;+\; r\cos\theta\\ \hat{k}.

Passo 5

Como a partícula está sobre a superfície da esfera de raio fixo, tomamos \,r=R\,. Assim o vetor posição fica simplesmente
\vec{r} = R\sin\theta\cos\varphi\\ \hat{\imath} \;+\; R\sin\theta\sin\varphi\\ \hat{\jmath} \;+\; R\cos\theta\\ \hat{k}.
Uma forma alternativa, compacta e muito útil, é escrever isso em termos do versor radial \,\hat{r}\,, que aponta do centro para o ponto:
\hat{r} = \sin\theta\cos\varphi\\ \hat{\imath} + \sin\theta\sin\varphi\\ \hat{\jmath} + \cos\theta\\ \hat{k},
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\vec{r} = R\,\hat{r}.

Passo 6

Para fixar a ideia, um par de exemplos rápidos:
  • Se \,\theta=\tfrac{\pi}{2}\, e \,\varphi=0\, (equador em direção x positivo), então \vec r = R\,\hat{\imath} = (R,0,0).
  • Se \,\theta=0\, (polo norte), então \vec r = R\,\hat{k} = (0,0,R).
Esses exemplos ajudam a verificar se as fórmulas estão corretas.

Resposta

\vec{r} = R\sin\theta\cos\varphi\\ \hat{\imath} + R\sin\theta\sin\varphi\\ \hat{\jmath} + R\cos\theta\\ \hat{k}
\vec{r} = R\,\hat{r} \quad\text{com}\quad R=354\\ \mathrm{m}

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