Uma massa m=177 \mathrm{~kg} segue girando sobre uma superfície cilíndrica mantendo o raio constante igual a \mathrm{R}=354 \mathrm{~m}. Subindo o cilindro com uma força \mathbf{F}=-177 \mathrm{z} k. Calcule a aceleração total da massa m . Use coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Dados fornecidos:
\,m=177\\ \mathrm{kg}.
\,R=354\\ \mathrm{m} (o raio é constante: a massa descreve uma trajetória sobre o cilindro com r(t)=R).
Força aplicada indicada no enunciado: \mathbf{F}=-177\,z\,\mathbf{k}.
Pedido: calcular a aceleração total da massa m usando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Interpretação e método escolhido (explico por que): o enunciado escreve \mathbf{F}=-177\,z\,\mathbf{k}. Vou interpretar isso como uma força vertical que depende da coordenada axial z (isto é, F_z=-177\,z, com unidade de força), dirigida no sentido negativo de \mathbf{k}. Essa interpretação é natural quando aparece multiplicação por z junto da unidade \mathbf{k}. Se o enunciado quisesse uma força constante -177\mathbf{k} o procedimento é idêntico, mudando só o valor numérico de F_z.
Método: trabalhar em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) escrevendo vetor posição, velocidade e aceleração nas bases \{\hat r,\hat\theta,\hat k\} e usar a segunda lei de Newton para obter \ddot z; a componente radial e azimutal da aceleração vêm diretamente das expressões cinemáticas (não precisamos das forças radiais aqui, pois a superfície impõe a restrição r=R).

Passo 3

Lembrando a base e suas derivadas temporais (aula curta): em coordenadas cilíndricas temos os vetores unitários \hat r e \hat\theta que giram com a partícula, e \hat k fixo. As derivadas temporais essenciais são
\frac{d}{dt}\hat r=\dot\theta\,\hat\theta,\qquad \frac{d}{dt}\hat\theta=-\dot\theta\,\hat r,\qquad \frac{d}{dt}\hat k=\mathbf{0}.
Essas fórmulas vêm do fato de que quando \theta varia, \hat r e \hat\theta giram com velocidade angular \dot\theta. (Intuição: \hat r gira e sua variação aponta na direção tangencial \hat\theta.)

Passo 4

Posição e velocidade em coordenadas cilíndricas (passo a passo): como r(t)=R constante e a coordenada axial é z(t),
\mathbf r(t)=R\,\hat r + z(t)\,\hat k.
Derivando para obter a velocidade:
\mathbf v=\frac{d\mathbf r}{dt}=R\frac{d\hat r}{dt}+\dot z\,\hat k =R\dot\theta\,\hat\theta+\dot z\,\hat k.
Explicação: \frac{d}{dt}(R\hat r)=R\dot\theta\hat\theta porque R é constante e \frac{d\hat r}{dt}=\dot\theta\hat\theta.

Passo 5

Aceleração (derivada da velocidade, passo a passo): derivando \mathbf v,
\mathbf a=\frac{d\mathbf v}{dt} =R\ddot\theta\,\hat\theta + R\dot\theta\frac{d\hat\theta}{dt} + \ddot z\,\hat k.
Agora usamos \frac{d\hat\theta}{dt}=-\dot\theta\hat r para obter
\mathbf a= R\ddot\theta\,\hat\theta + R\dot\theta(-\dot\theta\hat r) + \ddot z\,\hat k = -R\dot\theta^{2}\,\hat r + R\ddot\theta\,\hat\theta + \ddot z\,\hat k.
Comentário didático: esse resultado é a fórmula padrão da aceleração em coordenadas cilíndricas para r= constante: componente radial centrípeta -R\dot\theta^2, componente azimutal R\ddot\theta e componente axial \ddot z.

Passo 6

Usando a força vertical para obter \ddot z: a força dada é vertical com componente
F_z=-177\,z.
Aplicando a segunda lei de Newton na direção \hat k: m\ddot z=F_z (a reação normal do cilindro age radialmente, não axial, e nenhuma outra força axial foi indicada), portanto
m\ddot z = -177\,z.
Substituindo m=177\\ \mathrm{kg},
177\,\ddot z = -177\,z \quad\Rightarrow\quad \ddot z = -z.
Interpretação física curta: a equação \ddot z = -z mostra que o movimento axial é uma oscilação harmônica simples com \omega^2=1\\ \mathrm{(rad^2/s^2)}; a aceleração axial é proporcional e oposta ao deslocamento z.

Passo 7

Juntando tudo para a aceleração total: substituindo \ddot z=-z na expressão geral da aceleração obtemos
\mathbf a = -R\dot\theta^{2}\,\hat r + R\ddot\theta\,\hat\theta - z\,\hat k.
Observações práticas:
  • Se a rotação for com \dot\theta= constante, então \ddot\theta=0 e o termo azimutal some.
  • O termo radial -R\dot\theta^{2} é a aceleração centrípeta obrigatória para manter r=R (ela é fornecida pela reação normal da superfície).
  • O termo axial -z foi obtido numericamente por cancelamento dos 177 (bonitinho!), então a aceleração axial depende apenas de z e não de m nem de R.

Resposta

\displaystyle \mathbf a = -R\dot\theta^{2}\,\hat r + R\ddot\theta\,\hat\theta - z\,\hat k

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