Uma massa
segue girando sobre uma superfície cilíndrica mantendo o raio constante igual a
. Subindo o cilindro com uma força
k. Calcule a aceleração total da massa m . Use coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Dados fornecidos:
.
(o raio é constante: a massa descreve uma trajetória sobre o cilindro com
).
Força aplicada indicada no enunciado: .
Pedido: calcular a aceleração total da massa usando coordenadas cilíndricas.
Força aplicada indicada no enunciado:
Pedido: calcular a aceleração total da massa
Passo 2
Interpretação e método escolhido (explico por que): o enunciado escreve
. Vou interpretar isso como uma força vertical que depende da coordenada axial
(isto é,
, com unidade de força), dirigida no sentido negativo de
. Essa interpretação é natural quando aparece multiplicação por
junto da unidade
. Se o enunciado quisesse uma força constante
o procedimento é idêntico, mudando só o valor numérico de
.
Método: trabalhar em coordenadas cilíndricas escrevendo vetor posição, velocidade e aceleração nas bases
e usar a segunda lei de Newton para obter
; a componente radial e azimutal da aceleração vêm diretamente das expressões cinemáticas (não precisamos das forças radiais aqui, pois a superfície impõe a restrição
).
Método: trabalhar em coordenadas cilíndricas
Passo 3
Lembrando a base e suas derivadas temporais (aula curta): em coordenadas cilíndricas temos os vetores unitários
e
que giram com a partícula, e
fixo. As derivadas temporais essenciais são
Essas fórmulas vêm do fato de que quando
varia,
e
giram com velocidade angular
. (Intuição:
gira e sua variação aponta na direção tangencial
.)
Passo 4
Posição e velocidade em coordenadas cilíndricas (passo a passo): como
constante e a coordenada axial é
,
Derivando para obter a velocidade:
Explicação:
porque
é constante e
.
Passo 5
Aceleração (derivada da velocidade, passo a passo): derivando
,
Agora usamos
para obter
Comentário didático: esse resultado é a fórmula padrão da aceleração em coordenadas cilíndricas para
constante: componente radial centrípeta
, componente azimutal
e componente axial
.
Passo 6
Usando a força vertical para obter
: a força dada é vertical com componente
Aplicando a segunda lei de Newton na direção
:
(a reação normal do cilindro age radialmente, não axial, e nenhuma outra força axial foi indicada), portanto
Substituindo
,
Interpretação física curta: a equação
mostra que o movimento axial é uma oscilação harmônica simples com
; a aceleração axial é proporcional e oposta ao deslocamento
.
Passo 7
Juntando tudo para a aceleração total: substituindo
na expressão geral da aceleração obtemos
Observações práticas:
- Se a rotação for com
constante, então e o termo azimutal some. - O termo radial
é a aceleração centrípeta obrigatória para manter (ela é fornecida pela reação normal da superfície). - O termo axial
foi obtido numericamente por cancelamento dos (bonitinho!), então a aceleração axial depende apenas de e não de nem de .