Um massa m=D1 segue sobre um caminho genérico porém restrito a uma superfície esférica de raio constante igual a R=2*D1. Escreva o vetor posição sobre a esfera em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva o vetor posição de uma partícula de massa
, que se move sobre a superfície de uma esfera de raio constante
.
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
A tarefa específica: representar o vetor posição da partícula em coordenadas esféricas (usando os ângulos que parametram a superfície esférica).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar claramente o que são as coordenadas esféricas e os ângulos que usamos (convenção padrão de física/geométrica). Em coordenadas esféricas usamos três números
definidos assim:
Aqui
mede “de cima para baixo” (0 no polo norte,
no equador,
no polo sul) e
é o ângulo no plano horizontal.
Passo 3
Agora as bases (vetores unitários) de coordenadas esféricas expressas em componentes cartesianas. Denotamos por
,
e
os versores radial, polar e azimutal. Suas expressões em termos dos vetores cartesianos
são:
Breve explicação:
aponta radialmente para fora na direção definida por
;
aponta no sentido de diminuir
(para o polo norte) e
gira ao redor do eixo
.
Passo 4
O vetor posição em coordenadas esféricas gerais é sempre
Isto é porque o comprimento do vetor posição é
e sua direção é exatamente a direção radial
.
Passo 5
No nosso caso a partícula está restrita à superfície da esfera de raio constante
. Isso significa que o raio radial é fixo:
. Substituindo em
obtemos a forma em termos do versor radial:
Se quisermos escrever
em componentes cartesianas (útil para calcular coordenadas numéricas), substituímos a expressão de
do Passo 3:
Passo 6
Resumo didático e dica para a prova: sempre que a partícula está sobre uma esfera fixa você pode escrever imediatamente
. Lembre-se de que os únicos graus de liberdade são os ângulos
e
. Se o enunciado der
em função de outra variável (como aqui
), substitua diretamente para obter a expressão final.