Um massa m=D1 segue sobre um caminho genérico porém restrito a uma superfície esférica de raio constante igual a R=2*D1. Escreva o vetor posição sobre a esfera em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva o vetor posição de uma partícula de massa \,m=D_1, que se move sobre a superfície de uma esfera de raio constante \,R=2D_1.
Informações dadas relevantes:
m = D_1,\qquad R = 2D_1.
A tarefa específica: representar o vetor posição da partícula em coordenadas esféricas (usando os ângulos que parametram a superfície esférica).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar claramente o que são as coordenadas esféricas e os ângulos que usamos (convenção padrão de física/geométrica). Em coordenadas esféricas usamos três números \,(r,\theta,\varphi) definidos assim:
r = \text{distância radial ao eixo de origem},â
\theta = \text{ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo }z,\quad 0\le\theta\le\pi,â
\varphi = \text{ângulo azimutal no plano }xy,\quad 0\le\varphi<2\pi.â
Aqui \theta mede “de cima para baixo” (0 no polo norte, \pi/2 no equador, \pi no polo sul) e \varphi é o ângulo no plano horizontal.

Passo 3

Agora as bases (vetores unitários) de coordenadas esféricas expressas em componentes cartesianas. Denotamos por \hat{\mathbf{e}}_r, \hat{\mathbf{e}}_\theta e \hat{\mathbf{e}}_\varphi os versores radial, polar e azimutal. Suas expressões em termos dos vetores cartesianos \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são:
\hat{\mathbf{e}}_r = \sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{i}} \;+\; \sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{j}} \;+\; \cos\theta\,\hat{\mathbf{k}},
\hat{\mathbf{e}}_\theta = \cos\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{i}} \;+\; \cos\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{j}} \;-\; \sin\theta\,\hat{\mathbf{k}},
\hat{\mathbf{e}}_\varphi = -\sin\varphi\,\hat{\mathbf{i}} \;+\; \cos\varphi\,\hat{\mathbf{j}} \;+\; 0\cdot\hat{\mathbf{k}}.
Breve explicação: \hat{\mathbf{e}}_r aponta radialmente para fora na direção definida por (\theta,\varphi); \hat{\mathbf{e}}_\theta aponta no sentido de diminuir \theta (para o polo norte) e \hat{\mathbf{e}}_\varphi gira ao redor do eixo z.

Passo 4

O vetor posição em coordenadas esféricas gerais é sempre
\mathbf{r} = r\,\hat{\mathbf{e}}_r.
Isto é porque o comprimento do vetor posição é r e sua direção é exatamente a direção radial \hat{\mathbf{e}}_r.

Passo 5

No nosso caso a partícula está restrita à superfície da esfera de raio constante \,R=2D_1. Isso significa que o raio radial é fixo: r=R=2D_1. Substituindo em \mathbf{r}=r\hat{\mathbf{e}}_r obtemos a forma em termos do versor radial:
\mathbf{r} = 2D_1\,\hat{\mathbf{e}}_r.
Se quisermos escrever \mathbf{r} em componentes cartesianas (útil para calcular coordenadas numéricas), substituímos a expressão de \hat{\mathbf{e}}_r do Passo 3:
\mathbf{r} = 2D_1\bigl(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{i}} \;+\; \sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{j}} \;+\; \cos\theta\,\hat{\mathbf{k}}\bigr).

Passo 6

Resumo didático e dica para a prova: sempre que a partícula está sobre uma esfera fixa você pode escrever imediatamente \mathbf{r}=R\hat{\mathbf{e}}_r. Lembre-se de que os únicos graus de liberdade são os ângulos \theta e \varphi. Se o enunciado der R em função de outra variável (como aqui R=2D_1), substitua diretamente para obter a expressão final.

Resposta

\mathbf{r}=2D_1\,\hat{\mathbf{e}}_r
\mathbf{r}=2D_1\bigl(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{i}}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{j}}+\cos\theta\,\hat{\mathbf{k}}\bigr)

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