1. Massa da atmosfera de um planeta Um planeta esférico de raio R tem uma atmosfera cuja densidade \mu=\mu_{0} e^{-c h}, onde h é a altitude acima da superfície do planeta, \mu_{0} é a densidade no nível do mar e c é uma constante positiva. Encontre a massa da atmosfera do planeta.

Passo 1

O enunciado dá um planeta esférico de raio R e uma atmosfera cuja densidade em função da altitude h acima da superfície é
\mu(h)=\mu_{0}e^{-c\,h},
onde \mu_{0} é a densidade ao nível do mar e c>0 é constante. Queremos a massa total da atmosfera, o que exige usar integração em coordenadas esféricas e a fórmula de integrais tipo
\displaystyle \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-c x}\,dx=\frac{n!}{c^{\,n+1}}.

Passo 2

Expressamos a massa da atmosfera como
M=\int_{\text{atm}} \mu\,dV.
Em coordenadas esféricas isso vira um integral no raio desde r=R até r\to\infty, pois a atmosfera ocupa todos os cascos esféricos exteriores:
M=\int_{r=R}^{\infty}\mu_{0}e^{-c(r-R)}\cdot 4\pi r^{2}\,dr.

Passo 3

Para simplificar, fazemos a mudança de variável x=r-R. Então r=R+x e dr=dx. Quando r=R, x=0; quando r\to\infty, x\to\infty. Substituindo:
M=4\pi\mu_{0}\int_{0}^{\infty}(R+x)^{2}e^{-c x}\,dx.

Passo 4

Expandimos (R+x)^{2}=R^{2}+2R x+x^{2} e separamos o integral:
M=4\pi\mu_{0}\Bigl[ R^{2}\!\int_{0}^{\infty}e^{-c x}dx +2R\!\int_{0}^{\infty}x\,e^{-c x}dx +\!\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-c x}dx \Bigr].

Passo 5

Usamos a fórmula
\displaystyle \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-c x}dx=\frac{n!}{c^{\,n+1}}.
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\int_{0}^{\infty}e^{-c x}dx=\frac{1}{c},\quad \int_{0}^{\infty}x\,e^{-c x}dx=\frac{1}{c^{2}},\quad \int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-c x}dx=\frac{2}{c^{3}}.

Passo 6

Substituindo esses resultados em M:
M=4\pi\mu_{0}\Bigl[ R^{2}\frac{1}{c} +2R\frac{1}{c^{2}} +\frac{2}{c^{3}} \Bigr] =4\pi\mu_{0}\Bigl(\frac{R^{2}}{c}+\frac{2R}{c^{2}}+\frac{2}{c^{3}}\Bigr).

Resposta

M=4\pi\mu_{0}\Bigl(\frac{R^{2}}{c}+\frac{2R}{c^{2}}+\frac{2}{c^{3}}\Bigr).

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