- Massa da atmosfera de um planeta Um planeta esférico de raio
tem uma atmosfera cuja densidade
, onde
é a altitude acima da superfície do planeta,
é a densidade no nível do mar e
é uma constante positiva. Encontre a massa da atmosfera do planeta.
Passo 1
O enunciado dá um planeta esférico de raio
e uma atmosfera cuja densidade em função da altitude
acima da superfície é
onde
é a densidade ao nível do mar e
é constante. Queremos a massa total da atmosfera, o que exige usar integração em coordenadas esféricas e a fórmula de integrais tipo
.
Passo 2
Expressamos a massa da atmosfera como
Em coordenadas esféricas isso vira um integral no raio desde
até
, pois a atmosfera ocupa todos os cascos esféricos exteriores:
Passo 3
Para simplificar, fazemos a mudança de variável
. Então
e
. Quando
,
; quando
,
. Substituindo:
Passo 4
Expandimos
e separamos o integral:
Passo 5
Usamos a fórmula
.
Logo
Logo
Passo 6
Substituindo esses resultados em
: