(a) Qual é a massa de um átomo de alumínio? (b) Sendo a densidade do alumínio 2,70 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, quantos átomos existem por \mathrm{cm}^{3} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a massa de um átomo de alumínio;
  • (b) sabendo que a densidade do alumínio é \,2{,}70\\ \mathrm{g/cm^{3}}\,, calcular quantos átomos existem em cada \mathrm{cm^{3}}.
Informações que vamos usar (valores padrão que vêm da tabela periódica e constantes):
  • Massa molar do alumínio: M = 26{,}98\\ \mathrm{g/mol} (isto é, um mol de átomos de Al tem massa 26{,}98\\ \mathrm{g}).
  • Constante de Avogadro: N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}.

Passo 2

Entendendo o conceito (mini-aula rápida e prática):
  • Um mol de qualquer substância contém exatamente N_A entidades (átomos, moléculas, etc.). Por isso, se a massa de 1 mol de alumínio é M (em \mathrm{g/mol}), a massa de um único átomo é a massa molar dividida por N_A.
  • Fórmula básica que vamos usar:
m_{\text{átomo}}=\frac{M}{N_A},á
onde:
  • m_{\text{átomo}}á é a massa de um átomo (em gramas, se M está em \mathrm{g/mol});
  • M é a massa molar ( \mathrm{g/mol});
  • N_A é a constante de Avogadro ( \mathrm{mol}^{-1}).
Explicação do porquê: se M gramas correspondem a N_A átomos, então cada átomo tem a fração M/N_A daquela massa.

Passo 3

Cálculo da massa de um átomo de alumínio (parte (a)):
  • Escrevendo os valores em notação científica para facilitar a conta:
M = 26{,}98 = 2{,}698\times10^{1}\\ \mathrm{g/mol}, \qquad N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}.
  • Aplicando a fórmula:
m_{\text{átomo}}=\frac{M}{N_A} =\frac{2{,}698\times10^{1}}{6{,}022\times10^{23}} =\left(\frac{2{,}698}{6{,}022}\right)\times10^{1-23}.á
  • Fazendo a divisão \dfrac{2{,}698}{6{,}022}\approx0{,}4480, e 10^{1-23}=10^{-22}. Portanto
m_{\text{átomo}}\approx0{,}4480\times10^{-22}\\ \mathrm{g}=4{,}480\times10^{-23}\\ \mathrm{g}.á
  • É comum também expressar em quilogramas: 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg}, então
m_{\text{átomo}}\approx4{,}480\times10^{-23}\\ \mathrm{g}=4{,}480\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.á

Passo 4

Como passar da massa de um átomo para o número de átomos por \mathrm{cm^{3}} (parte (b)):
  • Ideia: a densidade \rho (em \mathrm{g/cm^{3}}) diz quantos gramas existem em cada \mathrm{cm^{3}}. Se cada átomo tem massa m_{\text{átomo}}á (em \mathrm{g}), o número de átomos por \mathrm{cm^{3}} é
n=\frac{\rho}{m_{\text{átomo}}}.á
  • Aqui \rho=2{,}70\\ \mathrm{g/cm^{3}} (valor dado) e já calculamos m_{\text{átomo}}=4{,}480\times10^{-23}\\ \mathrm{g}á.

Passo 5

Cálculo numérico do número de átomos por \mathrm{cm^{3}}:
n=\frac{2{,}70}{4{,}480\times10^{-23}} =\left(\frac{2{,}70}{4{,}480}\right)\times10^{23}.
A divisão 2{,}70/4{,}480\approx0{,}6027. Assim
n\approx0{,}6027\times10^{23}=6{,}027\times10^{22}\\ \text{átomos}\,\mathrm{cm}^{-3}.á
Arredondando com sensatez (duas ou três casas significativas compatíveis com os dados), fica
n\approx6{,}03\times10^{22}\\ \text{átomos}\,\mathrm{cm}^{-3}.á

Resposta

(a) m_{\text{átomo}}=4{,}48\times10^{-23}\\ \mathrm{g}=4{,}48\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}á
(b) 6{,}03\times10^{22}\\ \text{átomos}\,\mathrm{cm}^{-3}á

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