(a) Quantos átomos de ferro existem por grama? (b) Qual é o volume de um grão metálico contendo 10^{20} átomos de ferro?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar quantos átomos de ferro existem em 1\\ \text{grama} de ferro.
  • (b) Calcular o volume de um grão metálico que contém 10^{20} átomos de ferro.
Informações que vou usar (não foram dadas no enunciado, então uso valores padrão conhecidos):
  • Número de Avogadro: \,N_A = 6{,}02214076\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1}\,.
  • Massa molar do ferro (valor padrão): \,M_{\text{Fe}} = 55{,}845\\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}\,. Isso significa que 1 mol de Fe tem massa 55{,}845\\ \text{g} e contém N_A átomos.
  • Densidade do ferro metálico (valor padrão aproximado): \,\rho_{\text{Fe}} = 7{,}87\\ \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}\,.
Estas são as únicas hipóteses/valores que estou assumindo para poder resolver o problema numericamente.

Passo 2

Entendendo a ideia para (a) — relação entre mol, massa e número de átomos.
Conceitos essenciais (muito pé no chão):
  • Um mol de qualquer substância contém exatamente N_A entidades (átomos, moléculas, etc.). Para o ferro, 1 mol de Fe contém N_A átomos e tem massa M_{\text{Fe}} em gramas.
  • Se 1 mol tem M_{\text{Fe}} gramas e N_A átomos, então o número de átomos por grama é dado por dividir N_A pela massa molar M_{\text{Fe}}.
Escrevendo isso em fórmula (cada símbolo explicado):
  • N_A = número de Avogadro ( \text{átomos/mol}á).
  • M_{\text{Fe}} = massa molar do ferro ( \text{g/mol}).
  • O número de átomos por grama será
\frac{N_A}{M_{\text{Fe}}}\quad\left(\frac{\text{átomos}}{\text{g}}\right).á

Passo 3

Cálculo explícito de (a) com todos os passos numéricos:
Substituindo os valores:
\frac{N_A}{M_{\text{Fe}}} = \frac{6{,}02214076\times10^{23}}{55{,}845}\\ \left(\frac{\text{átomos}}{\text{g}}\right).á
Vamos dividir passo a passo (manter a conta simples para fazer sem calculadora grosseiramente):
  • Primeiro observe que a divisão dá um número da ordem de 10^{23}/10^{1}=10^{22}.
  • Fazendo a divisão numérica (mostro o resultado arredondado com precisão razoável):
\frac{6{,}02214076\times10^{23}}{55{,}845}\approx 1{,}078\times10^{22}\\ \text{átomos}\cdot\text{g}^{-1}.á
Interpretação: em cada grama de ferro há aproximadamente 1{,}08\times10^{22} átomos.

Passo 4

Entendendo a ideia para (b) — como passar de número de átomos para volume.
Plano:
  1. Converter o número de átomos em massa (gramas). Cada átomo tem massa média \dfrac{M_{\text{Fe}}}{N_A} gramas, logo N átomos têm massa m = N\cdot \dfrac{M_{\text{Fe}}}{N_A}.
  2. Converter massa em volume usando a densidade: \,V = \dfrac{m}{\rho_{\text{Fe}}}\,.
    Todos os símbolos:
  • N = número de átomos do grão (aqui N=10^{20}).
  • m = massa do grão (g).
  • \rho_{\text{Fe}} = densidade do ferro ( \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}).
  • V = volume do grão (primeiro em \text{cm}^3, depois converto para \text{m}^3 se for útil).

Passo 5

Cálculo da massa do grão contendo 10^{20} átomos:
Fórmula da massa:
m = N\cdot\frac{M_{\text{Fe}}}{N_A}.
Substituindo N=10^{20}:
m = 10^{20}\cdot\frac{55{,}845}{6{,}02214076\times10^{23}}\\ \text{g}.
Agrupando potências de 10:
m = \frac{55{,}845}{6{,}02214076}\times10^{20-23}\\ \text{g} = \frac{55{,}845}{6{,}02214076}\times10^{-3}\\ \text{g}.
A divisão numérica:
\frac{55{,}845}{6{,}02214076}\approx 9{,}2734,
portanto
m \approx 9{,}2734\times10^{-3}\\ \text{g} = 0{,}0092734\\ \text{g}.

Passo 6

Converter essa massa em volume usando a densidade:
Fórmula:
V = \frac{m}{\rho_{\text{Fe}}}.
Substituindo m\approx 9{,}2734\times10^{-3}\\ \text{g} e \rho_{\text{Fe}}=7{,}87\\ \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}:
V \approx \frac{9{,}2734\times10^{-3}}{7{,}87}\\ \text{cm}^3.
Fazendo a divisão:
V \approx 1{,}178\times10^{-3}\\ \text{cm}^3.
Para ter uma unidade no SI (metros cúbicos), lembrando que 1\\ \text{cm}^3 = 10^{-6}\\ \text{m}^3:
V \approx 1{,}178\times10^{-3}\times10^{-6}\\ \text{m}^3 = 1{,}178\times10^{-9}\\ \text{m}^3.

Passo 7

Resumo e verificação rápida (checagem por método alternativo — volume por átomo):
  • Volume por átomo (em \text{cm}^3) é \dfrac{M_{\text{Fe}}}{N_A\,\rho_{\text{Fe}}}.
  • Multiplicando esse volume por 10^{20} obtemos exatamente o V calculado acima. Ou seja, o resultado é consistente.

Resposta

1{,}08\times10^{22}\\ \text{átomos/g}á
V \approx 1{,}18\times10^{-3}\\ \text{cm}^3 = 1{,}18\times10^{-9}\\ \text{m}^3

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