\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3} tern uma densidade de 3,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Quantos átomos estão presentes por \mathrm{cm}^{3} ? Por grama?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular quantos átomos existem em 1\\ \mathrm{cm^{3}} de \mathrm{Al_{2}O_{3}}.
  • Calcular quantos átomos existem em 1\\ \mathrm{g} de \mathrm{Al_{2}O_{3}}.
Informações fornecidas e dados que vamos usar:
  • Densidade: \rho = 3,8\\ \mathrm{g/cm^{3}} (dado no enunciado).
  • Fórmula química: \mathrm{Al_{2}O_{3}} (cada fórmula contém 2 átomos de alumínio e 3 átomos de oxigénio, total 5 átomos por fórmula unitária).
  • Massas atómicas (usuais): M_{\mathrm{Al}} = 26,98\\ \mathrm{g/mol} e M_{\mathrm{O}} = 16,00\\ \mathrm{g/mol}.
  • Constante de Avogadro: N_{A} = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} (usada para converter mols em número de entidades).
    Nada mais foi pedido pelo enunciado.

Passo 2

Calcular a massa molar (massa de uma mole da substância) de \mathrm{Al_{2}O_{3}}. Explicação curta: a massa molar de um composto é a soma das massas atómicas dos átomos que aparecem na fórmula, multiplicadas pelas suas quantidades na fórmula. Cada variável:
  • M é a massa molar em \mathrm{g/mol}.
  • M_{\mathrm{Al}} e M_{\mathrm{O}} são as massas atómicas em \mathrm{g/mol}.
Cálculo:
M = 2\times M_{\mathrm{Al}} + 3\times M_{\mathrm{O}}
M = 2\times26,98 + 3\times16,00 = 53,96 + 48,00 = 101,96\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 3

Encontrar quantas moles de \mathrm{Al_{2}O_{3}} existem em 1\\ \mathrm{cm^{3}}. Explicação: a densidade relaciona massa por volume; para 1\\ \mathrm{cm^{3}} a massa é numericamente igual à densidade em gramas. O número de mols é massa dividida pela massa molar. Variáveis:
  • \rho é a densidade em \mathrm{g/cm^{3}}.
  • n é o número de mols por \mathrm{cm^{3}}.
  • M é a massa molar em \mathrm{g/mol}.
Cálculo:
n=\frac{\rho}{M}=\frac{3,8}{101,96}=0,03727\\ \mathrm{mol/cm^{3}}.

Passo 4

Converter moles para unidades de fórmula e depois para número de átomos. Explicação: uma mole contém N_{A} unidades (aqui unidades de fórmula). Cada unidade de \mathrm{Al_{2}O_{3}} tem 5 átomos. Então:
  • N_{\text{f.u.}} = número de unidades de fórmula por \mathrm{cm^{3}}.
  • N_{\text{átomos}}á = número de átomos por \mathrm{cm^{3}}.
Cálculos:
N_{\text{f.u.}} = n \times N_{A} = 0,03727\times6,022\times10^{23} = 2,244\times10^{22}\\ \text{unidades de fórmula/cm}^{3}.ó
N_{\text{átomos/cm}^{3}} = 5\times N_{\text{f.u.}} = 5\times2,244\times10^{22} = 1,122\times10^{23}\\ \text{átomos/cm}^{3}.áá

Passo 5

Calcular diretamente o número de átomos por grama (versão prática). Explicação: podemos obter moles por grama como 1/M. Repetimos o raciocínio anterior, mas por grama:
  • n_{\text{por g}}=\dfrac{1}{M}\\ \mathrm{mol/g}.
  • Multiplica-se por N_{A} e por 5 átomos por unidade de fórmula.
Cálculos:
n_{\text{por g}}=\frac{1}{M}=\frac{1}{101,96}=0,009804\\ \mathrm{mol/g}.
N_{\text{f.u./g}}=n_{\text{por g}}\times N_{A}=0,009804\times6,022\times10^{23}=5,905\times10^{21}\\ \text{unidades de fórmula/g}.ó
N_{\text{átomos/g}}=5\times N_{\text{f.u./g}}=5\times5,905\times10^{21}=2,952\times10^{22}\\ \text{átomos/g}.áá

Resposta

1,122\times10^{23}\\ \text{átomos/cm}^{3}á
2,952\times10^{22}\\ \text{átomos/g}á

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