Um volume de 698 \mathrm{~cm}^{3} de areia tem massa de 1,2 \mathrm{~kg}. A massa seca da areia é de 1030 g e a massa específica dos sólidos é de 2,67 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Calcule:
a) Índice de vazios;
b) Porosidade;
c) Teor de umidade;
d) Grau de saturação;
e) Massa específica natural.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos):
  • Volume total da amostra: V_t = 698\\ \mathrm{cm}^3.
  • Massa natural (úmida) da amostra: M_{\text{nat}} = 1{,}2\\ \mathrm{kg} = 1200\\ \mathrm{g}.
  • Massa seca da areia (massa dos sólidos): M_s = 1030\\ \mathrm{g}.
  • Massa específica dos sólidos (densidade dos grãos): \rho_s = 2{,}67\\ \mathrm{g/cm}^3.
O enunciado pede:
a) índice de vazios (índice de vazios e);
b) porosidade ( n );
c) teor de umidade (umidade gravimétrica w);
d) grau de saturação ( S_r );
e) massa específica natural (densidade aparente ou massa específica do material natural \rho_{\text{nat}}).

Passo 2

Vou calcular o volume dos sólidos V_s. Conceito e fórmula:
  • V_s é o volume ocupado pelos grãos sólidos (sem água). A relação entre massa dos sólidos, densidade dos sólidos e volume dos sólidos é:
V_s=\frac{M_s}{\rho_s},
onde M_s é a massa seca em \mathrm{g} e \rho_s é a massa específica em \mathrm{g/cm}^3.
Substituindo os valores:
V_s=\frac{1030}{2{,}67}\\ \mathrm{cm}^3.
Agora a conta: \dfrac{1030}{2{,}67}\approx 385{,}7713\\ \mathrm{cm}^3.
Portanto
V_s \approx 385{,}77\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 3

Calcular o volume de vazios V_v. Conceito:
  • O volume total é soma do volume dos sólidos com o volume dos vazios:
V_t = V_s + V_v \quad\Rightarrow\quad V_v = V_t - V_s.
Substituindo:
V_v = 698 - 385{,}7713 \\ \mathrm{cm}^3 \approx 312{,}2287\\ \mathrm{cm}^3.
Portanto
V_v \approx 312{,}23\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 4

(a) Índice de vazios e. Definição e fórmula:
  • O índice de vazios e é a razão entre o volume de vazios e o volume dos sólidos:
e=\frac{V_v}{V_s},
onde V_v e V_s já foram calculados.
Substituindo:
e=\frac{312{,}2287}{385{,}7713}\approx 0{,}809615\ldots
Arredondando de forma razoável:
e \approx 0{,}810.
Explicação didática curta: e diz quantos cm^3 de vazio existem por cada cm^3 de sólidos. Valores menores indicam material mais compacto.

Passo 5

(b) Porosidade n. Definição e fórmulas equivalentes:
  • Porosidade é a fração do volume total ocupada por vazios:
n=\frac{V_v}{V_t}.
  • Relação útil entre n e e (checar coerência):
n=\frac{e}{1+e}.
Usando a definição direta:
n=\frac{312{,}2287}{698}\approx 0{,}447468\ldots
Arredondando:
n \approx 0{,}447 \quad(\text{ou }44{,}7\%).

Passo 6

(c) Teor de umidade w (umidade gravimétrica). Definição e fórmula:
  • Umidade gravimétrica w é a massa de água sobre a massa dos sólidos:
w=\frac{M_w}{M_s},
onde M_w é a massa de água e M_s a massa seca. A massa de água é a diferença entre a massa natural e a massa seca:
M_w=M_{\text{nat}}-M_s.
Calcular M_w:
M_w = 1200 - 1030 = 170\\ \mathrm{g}.
Então
w=\frac{170}{1030}\approx 0{,}1650485\ldots
Em porcentagem:
w\approx 16{,}50\%.
Dica prática: na prova, sempre calcule M_w primeiro e depois divida por M_s.

Passo 7

(d) Grau de saturação S_r. Definição e fórmula:
  • Grau de saturação é a fração do volume de vazios ocupada por água:
S_r=\frac{V_w}{V_v},
onde V_w é o volume de água e V_v o volume de vazios. Para obter V_w usa-se a massa de água dividida pela densidade da água. Para água pura em condições normais, \rho_w=1{,}00\\ \mathrm{g/cm}^3, logo
V_w=\frac{M_w}{\rho_w}= \frac{170}{1{,}00}=170\\ \mathrm{cm}^3.
Agora
S_r=\frac{170}{312{,}2287}\approx 0{,}544569\ldots
Em porcentagem:
S_r\approx 54{,}46\%.
Interpretação curta: pouco mais da metade dos vazios estão preenchidos por água; o restante é ar.

Passo 8

(e) Massa específica natural \rho_{\text{nat}} (densidade aparente). Definição e fórmula:
  • Massa específica natural é a massa total (úmida) por unidade de volume total:
\rho_{\text{nat}}=\frac{M_{\text{nat}}}{V_t}.
Substituindo (mantendo unidades em \mathrm{g/cm}^3):
\rho_{\text{nat}}=\frac{1200}{698}\\ \mathrm{g/cm}^3 \approx 1{,}720628\\ \mathrm{g/cm}^3.
Arredondando:
\rho_{\text{nat}} \approx 1{,}721\\ \mathrm{g/cm}^3.
Se desejar em \mathrm{kg/m}^3, multiplica por 1000:
\rho_{\text{nat}} \approx 1721\\ \mathrm{kg/m}^3.

Passo 9

Recapitulando as unidades e arredondamentos usados:
  • Volumes em \mathrm{cm}^3.
  • Massas em \mathrm{g}.
  • Percentuais expressos com vírgula decimal (estilo português).
  • Arredondei resultados finais com 3 algarismos significativos quando aplicável.

Resposta

a) e \approx 0{,}810
b) n \approx 0{,}447 (ou 44{,}7\%)
c) w \approx 0{,}165 (ou 16{,}50\%)
d) S_r \approx 0{,}545 (ou 54{,}46\%)
e) \rho_{\text{nat}} \approx 1{,}721\\ \mathrm{g/cm}^3 (ou 1721\\ \mathrm{kg/m}^3)

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