4.9 A massa de uma lata de refrigerante, em alumínio, é 20 g . O seu diâmetro e altura são 65 e 120 mm , respectivamente. Quando cheia, a lata contém 354 mililitros de refrigerante com densidade relativa SG = 1,05. Avalie a altura do centro de gravidade da lata como uma função do nível do líquido. A que nível corresponderia a menor probabilidade de a lata tombar quando submetida a uma aceleração lateral constante? Calcule o coeficiente mínimo de atrito estático para o qual a lata cheia tombaria em vez de deslizar sobre uma superfície horizontal. Trace um gráfico do coeficiente de atrito estático mínimo, para o qual a lata tombaria em vez de deslizar em uma superfície horizontal, como uma função do nível do líquido na lata.
Passo 1
O enunciado dá uma lata cilíndrica de alumínio com os seguintes dados (pegarei os números do enunciado):
- Massa da lata vazia:
. - Diâmetro da lata:
. - Altura da lata:
. - Quando “cheia” ela contém
de refrigerante com densidade relativa . Assim a densidade do líquido é .
O que o enunciado pede:
- Avaliar a altura do centro de gravidade da lata como função do nível do líquido
(altura do líquido medida a partir do fundo). - Determinar para que nível
a lata tem a menor probabilidade de tombar quando submetida a uma aceleração lateral constante (ou seja, o nível que torna a lata mais estável). - Calcular o coeficiente mínimo de atrito estático
para o qual a lata “cheia” (354 mL) tombaria em vez de deslizar sobre uma superfície horizontal. - Traçar (ou descrever) o gráfico de
como função do nível do líquido .
Informações úteis que vamos usar (não resolvo ainda, só listo):
- Área da seção transversal do líquido:
. - Massa do líquido como função de
: . - Centro de massa do líquido (coluna uniforme): localizado em
acima do fundo. - Vou assumir que a massa da lata pode ser tratada como concentrada no seu centro geométrico vertical (lata delgada), portanto a altura do centro de massa da lata vazia é
. - Regra do centro de massa composto:
. - Condição de tombamento sob aceleração lateral
: a linha de ação da força resultante (gravidade mais força inercial) atinge a borda da base quando , com . Assim o valor crítico de aceleração para tombar é . - Condição de deslizamento: se a aceleração necessária para tombar
for maior que a aceleração que produz deslizamento (onde é o coeficiente estático), então a lata desliza antes de tombar. O limite entre tombar e deslizar é dado por .
Passo 2
Calcular quantidades geométricas e constantes numéricas iniciais (tudo com unidades SI):
- Área da seção transversal:
Faço o cálculo passo a passo:
- Constante
que aparece com frequência (massa de líquido por metro de altura):
(Isto significa que
.)
- Altura do líquido quando a lata contém
(isto é, o “nível cheio” ):
Observação: a lata não fica exatamente cheia até o topo
; o volume dado corresponde a
.
Resumo numérico útil para usar depois:
Passo 3
Derivar a expressão do centro de gravidade
como função de
.
- Massa do líquido:
- Centro do líquido:
- Aplicando a fórmula de centro de massa composto:
Colocando de forma mais explícita:
Essa é a expressão analítica que responde à primeira pergunta (altura do centro de gravidade como função do nível do líquido). Aqui:
-
é a massa da lata ( ), -
é a altura do centro da lata vazia ( ), -
foi calculado no passo anterior.
Comentário didático curto: a parte
é o momento da lata vazia, e
é o momento do líquido (pois a massa do líquido é
e seu centro está em
); somando momentos e dividindo pela massa total obtém-se o CG composto.
Passo 4
Encontrar o nível
que reduz ao máximo a probabilidade de tombar. Interpretação física: quanto mais baixo o
, mais estável (maior aceleração lateral necessária para tombar). Portanto queremos o
que minimiza
.
Derivo
e procuro o ponto crítico (passo algebraico detalhado):
Defina
e
. Então
Derivando (regra do quociente):
Calculo as derivadas:
Zerar numerador para extremos:
Dividindo por
(não é zero):
Expandindo:
Isso é uma equação quadrática em
:
Resolver pela fórmula quadrática. Coeficientes:
. Logo
Escolhemos a raiz positiva (altura positiva). Substituindo os valores numéricos:
-
, -
, -
.
Calcule o discriminante:
Faço passo a passo:
Agora a raiz positiva:
Convertendo para milímetros:
Interpretação: quando a altura do líquido é aproximadamente
a altura do centro de gravidade da combinação lata+líquido atinge o mínimo. Esse é o nível para o qual a lata exige a maior aceleração lateral para tombar — portanto é o nível de menor probabilidade de tombar.
Passo 5
Calcular numericamente o centro de gravidade para o nível “cheio” dado (
) e o coeficiente mínimo
para que a lata cheia tombe em vez de deslizar.
Primeiro, massa do líquido no nível cheio:
Centro de massa combinado:
Faço os cálculos:
Agora a condição limite entre tombar e deslizar sob aceleração lateral: tombamento ocorre quando a aceleração atinge
. Deslizamento ocorre quando
. Assim, o coeficiente estático mínimo para que a lata tombe (em vez de deslizar) é:
Para o caso da lata “cheia” usamos
:
Arredondando razoavelmente:
Interpretação: se o coeficiente de atrito estático entre a lata cheia e a superfície for maior que cerca de
, então, ao aumentar a aceleração lateral, a lata tenderá a tombar antes de deslizar; se
, ela deslizará primeiro.
Passo 6
Expressão geral do coeficiente mínimo em função de
e como traçar o gráfico.
- Já temos
. - Portanto
Observações sobre o comportamento e como esboçar o gráfico (dicas práticas para desenhar à mão na prova):
- Domínio prático:
(no enunciado “cheia” é ), mas a fórmula vale matematicamente até . - A relação é a razão
. Como tem um mínimo em , a função terá um máximo em exatamente esse (porque é o inverso). Portanto: - Em
(lata vazia) temos . - Conforme se adiciona líquido até
, o diminui (fica mais estável) e, consequentemente, aumenta até o máximo. - Para
o aumenta, portanto cai novamente. - No nível do líquido do “cheio” (
), encontramos (valor já calculado).
- Em
- Assim o gráfico de
(no eixo vertical) vs (no eixo horizontal) tem formato de “curva com um pico” em . Começa em em , sobe até um máximo (valor máximo pode ser calculado avaliando em ), e depois decresce até o valor em (note que nesse caso o valor em ficou maior que em porque o máximo é ainda maior).
Se quiser o valor máximo de
no pico (opcional passo de cálculo): em
temos
(próximo do
encontrado), então
Portanto o pico do gráfico é aproximadamente
em
.
Para traçar o gráfico na prova:
- Faça uma tabela rápida de pontos (por exemplo
) calculando pelas fórmulas acima e ligue os pontos suavemente, marcando o pico em .
Resposta
O nível que minimiza a probabilidade de tombar (minimiza
Para a lata “cheia” (354 mL,
Função do coeficiente mínimo em função do nível do líquido: