4.9 A massa de uma lata de refrigerante, em alumínio, é 20 g . O seu diâmetro e altura são 65 e 120 mm , respectivamente. Quando cheia, a lata contém 354 mililitros de refrigerante com densidade relativa SG = 1,05. Avalie a altura do centro de gravidade da lata como uma função do nível do líquido. A que nível corresponderia a menor probabilidade de a lata tombar quando submetida a uma aceleração lateral constante? Calcule o coeficiente mínimo de atrito estático para o qual a lata cheia tombaria em vez de deslizar sobre uma superfície horizontal. Trace um gráfico do coeficiente de atrito estático mínimo, para o qual a lata tombaria em vez de deslizar em uma superfície horizontal, como uma função do nível do líquido na lata.

Passo 1

O enunciado dá uma lata cilíndrica de alumínio com os seguintes dados (pegarei os números do enunciado):
  • Massa da lata vazia: m_c = 20\\ \text{g} = 0,020\\ \text{kg}.
  • Diâmetro da lata: D = 65\\ \text{mm}\Rightarrow r=\dfrac{D}{2}=32{,}5\\ \text{mm}=0,0325\\ \text{m}.
  • Altura da lata: H=120\\ \text{mm}=0,120\\ \text{m}.
  • Quando “cheia” ela contém 354\\ \text{mL}=354\times10^{-6}\\ \text{m}^3 de refrigerante com densidade relativa \text{SG}=1{,}05. Assim a densidade do líquido é \rho=1050\\ \text{kg/m}^3.
O que o enunciado pede:
  1. Avaliar a altura do centro de gravidade da lata como função do nível do líquido h (altura do líquido medida a partir do fundo).
  2. Determinar para que nível h a lata tem a menor probabilidade de tombar quando submetida a uma aceleração lateral constante (ou seja, o nível que torna a lata mais estável).
  3. Calcular o coeficiente mínimo de atrito estático \mu_{\min} para o qual a lata “cheia” (354 mL) tombaria em vez de deslizar sobre uma superfície horizontal.
  4. Traçar (ou descrever) o gráfico de \mu_{\min} como função do nível do líquido h.
Informações úteis que vamos usar (não resolvo ainda, só listo):
  • Área da seção transversal do líquido: A=\pi r^2.
  • Massa do líquido como função de h: m(h)=\rho A h.
  • Centro de massa do líquido (coluna uniforme): localizado em z_{\ell}=\dfrac{h}{2} acima do fundo.
  • Vou assumir que a massa da lata pode ser tratada como concentrada no seu centro geométrico vertical (lata delgada), portanto a altura do centro de massa da lata vazia é z_c=\dfrac{H}{2}=0,06\\ \text{m}.
  • Regra do centro de massa composto: z_{\text{cg}}(h)=\dfrac{m_c z_c + m(h) z_{\ell}}{m_c + m(h)}.
  • Condição de tombamento sob aceleração lateral a: a linha de ação da força resultante (gravidade mais força inercial) atinge a borda da base quando z_{\text{cg}}(h)\tan\varphi = r, com \tan\varphi=\dfrac{a}{g}. Assim o valor crítico de aceleração para tombar é a_{\text{tip}}(h)=g\,\dfrac{r}{z_{\text{cg}}(h)}.
  • Condição de deslizamento: se a aceleração necessária para tombar a_{\text{tip}} for maior que a aceleração que produz deslizamento \mu g (onde \mu é o coeficiente estático), então a lata desliza antes de tombar. O limite entre tombar e deslizar é dado por \mu_{\min}(h)=\dfrac{r}{z_{\text{cg}}(h)}.

Passo 2

Calcular quantidades geométricas e constantes numéricas iniciais (tudo com unidades SI):
  • Área da seção transversal:
A=\pi r^2=\pi (0,0325)^2.
Faço o cálculo passo a passo:
r^2=(0,0325)^2=0,00105625\\ \text{m}^2,
A=\pi\cdot0,00105625\approx0,00331831\\ \text{m}^2.
  • Constante k=\rho A que aparece com frequência (massa de líquido por metro de altura):
k=\rho A=1050\cdot0,00331831\approx3,484225\\ \text{kg/m}.
(Isto significa que m(h)=k\,h.)
  • Altura do líquido quando a lata contém 354\\ \text{mL} (isto é, o “nível cheio” h_{\text{cheio}}):
h_{\text{cheio}}=\frac{V_{\text{liq}}}{A}=\frac{354\times10^{-6}}{0,00331831}\approx0,10666\\ \text{m}=106{,}66\\ \text{mm}.
Observação: a lata não fica exatamente cheia até o topo H=120\\ \text{mm}; o volume dado corresponde a h_{\text{cheio}}\approx106{,}7\\ \text{mm}.
Resumo numérico útil para usar depois:
m_c=0,020\\ \text{kg},\qquad z_c=\frac{H}{2}=0,06\\ \text{m},\qquad k\approx3,484225\\ \text{kg/m},\qquad h_{\text{cheio}}\approx0,10666\\ \text{m}.

Passo 3

Derivar a expressão do centro de gravidade z_{\text{cg}}(h) como função de h.
  • Massa do líquido:
m(h)=\rho A h = k h.
  • Centro do líquido:
z_{\ell}=\frac{h}{2}.
  • Aplicando a fórmula de centro de massa composto:
z_{\text{cg}}(h)=\frac{m_c z_c + m(h) z_{\ell}}{m_c + m(h)} =\frac{m_c z_c + k h\cdot \dfrac{h}{2}}{m_c + k h}.
Colocando de forma mais explícita:
\boxed{\,z_{\text{cg}}(h)=\dfrac{m_c z_c + \dfrac{k}{2}\,h^2}{m_c + k h}\,}
Essa é a expressão analítica que responde à primeira pergunta (altura do centro de gravidade como função do nível do líquido). Aqui:
  • m_c é a massa da lata ( 0,020\\ \text{kg}),
  • z_c é a altura do centro da lata vazia ( 0,06\\ \text{m}),
  • k=\rho A foi calculado no passo anterior.
Comentário didático curto: a parte m_c z_c é o momento da lata vazia, e \tfrac{k}{2}h^2 é o momento do líquido (pois a massa do líquido é k h e seu centro está em h/2); somando momentos e dividindo pela massa total obtém-se o CG composto.

Passo 4

Encontrar o nível h que reduz ao máximo a probabilidade de tombar. Interpretação física: quanto mais baixo o z_{\text{cg}}, mais estável (maior aceleração lateral necessária para tombar). Portanto queremos o h que minimiza z_{\text{cg}}(h).
Derivo z_{\text{cg}}(h) e procuro o ponto crítico (passo algebraico detalhado):
Defina N(h)=m_c z_c + \dfrac{k}{2}h^2 e D(h)=m_c + k h. Então
z_{\text{cg}}(h)=\frac{N(h)}{D(h)}.
Derivando (regra do quociente):
\frac{dz_{\text{cg}}}{dh}=\frac{N' D - N D'}{D^2}.
Calculo as derivadas:
N'(h)=k h,\qquad D'(h)=k.
Zerar numerador para extremos:
N' D - N D' = 0
\Rightarrow (k h)(m_c + k h) - (m_c z_c + \tfrac{k}{2}h^2)(k)=0.
Dividindo por k (não é zero):
h(m_c + k h) - \bigl(m_c z_c + \tfrac{k}{2}h^2\bigr)=0.
Expandindo:
m_c h + k h^2 - m_c z_c - \tfrac{k}{2}h^2=0
\Rightarrow m_c h + \tfrac{k}{2}h^2 - m_c z_c =0.
Isso é uma equação quadrática em h:
\frac{k}{2}h^2 + m_c h - m_c z_c = 0.
Resolver pela fórmula quadrática. Coeficientes: a=\tfrac{k}{2},\\ b=m_c,\\ c=-m_c z_c. Logo
h=\frac{-m_c \pm \sqrt{m_c^2 + 2 k m_c z_c}}{k}.
Escolhemos a raiz positiva (altura positiva). Substituindo os valores numéricos:
  • m_c=0,020,
  • k\approx3,484225,
  • z_c=0,06.
Calcule o discriminante:
\Delta=m_c^2 + 2 k m_c z_c = (0,020)^2 + 2\cdot3,484225\cdot0,020\cdot0,06.
Faço passo a passo:
m_c^2=0,0004,
2 k m_c z_c =2\cdot3,484225\cdot0,020\cdot0,06\approx0,00836214,
\Delta\approx0,0004+0,00836214=0,00876214.
\sqrt{\Delta}\approx0,09364.
Agora a raiz positiva:
h_{\text{min}}=\frac{-0,020 + 0,09364}{3,484225}\approx\frac{0,07364}{3,484225}\approx0,02114\\ \text{m}.
Convertendo para milímetros:
h_{\text{min}}\approx21{,}1\\ \text{mm}.
Interpretação: quando a altura do líquido é aproximadamente 21{,}1\\ \text{mm} a altura do centro de gravidade da combinação lata+líquido atinge o mínimo. Esse é o nível para o qual a lata exige a maior aceleração lateral para tombar — portanto é o nível de menor probabilidade de tombar.

Passo 5

Calcular numericamente o centro de gravidade para o nível “cheio” dado ( h_{\text{cheio}}\approx0,10666\\ \text{m}) e o coeficiente mínimo \mu_{\min} para que a lata cheia tombe em vez de deslizar.
Primeiro, massa do líquido no nível cheio:
m_{\text{liq,cheio}}=k\,h_{\text{cheio}}\approx3,484225\cdot0,10666\approx0,3717\\ \text{kg}.
Centro de massa combinado:
z_{\text{cg}}(h_{\text{cheio}})=\frac{m_c z_c + \dfrac{k}{2}h_{\text{cheio}}^2}{m_c + k h_{\text{cheio}}}.
Faço os cálculos:
m_c z_c=0,020\cdot0,06=0,0012,
\tfrac{k}{2}h_{\text{cheio}}^2=\tfrac{3,484225}{2}\cdot(0,10666)^2\approx1,7421125\cdot0,011371\approx0,019823,
\text{numerador}=0,0012+0,019823=0,021023,
\text{denominador}=0,020+0,3717=0,3917,
z_{\text{cg}}(h_{\text{cheio}})\approx\frac{0,021023}{0,3917}\approx0,05367\\ \text{m}=53{,}67\\ \text{mm}.
Agora a condição limite entre tombar e deslizar sob aceleração lateral: tombamento ocorre quando a aceleração atinge a_{\text{tip}}=g\,\dfrac{r}{z_{\text{cg}}}. Deslizamento ocorre quando a>\mu g. Assim, o coeficiente estático mínimo para que a lata tombe (em vez de deslizar) é:
\mu_{\min}(h)=\frac{a_{\text{tip}}}{g}=\frac{r}{z_{\text{cg}}(h)}.
Para o caso da lata “cheia” usamos z_{\text{cg}}(h_{\text{cheio}}):
\mu_{\min,\text{cheia}}=\frac{r}{z_{\text{cg}}(h_{\text{cheio}})}=\frac{0,0325}{0,05367}\approx0,6057.
Arredondando razoavelmente:
\mu_{\min,\text{cheia}}\approx0{,}606.
Interpretação: se o coeficiente de atrito estático entre a lata cheia e a superfície for maior que cerca de 0{,}606, então, ao aumentar a aceleração lateral, a lata tenderá a tombar antes de deslizar; se \mu<0{,}606, ela deslizará primeiro.

Passo 6

Expressão geral do coeficiente mínimo em função de h e como traçar o gráfico.
  • Já temos z_{\text{cg}}(h)=\dfrac{m_c z_c + \tfrac{k}{2}h^2}{m_c + k h}.
  • Portanto
\boxed{\,\mu_{\min}(h)=\frac{r}{z_{\text{cg}}(h)} = r\cdot\frac{m_c + k h}{m_c z_c + \tfrac{k}{2}h^2}\,.}
Observações sobre o comportamento e como esboçar o gráfico (dicas práticas para desenhar à mão na prova):
  • Domínio prático: 0\le h \le h_{\text{cheio}} (no enunciado “cheia” é h_{\text{cheio}}\approx0,10666\\ \text{m}), mas a fórmula vale matematicamente até h\le H.
  • A relação é a razão r/z_{\text{cg}}(h). Como z_{\text{cg}}(h) tem um mínimo em h\approx0,02114\\ \text{m}, a função \mu_{\min}(h)=r/z_{\text{cg}}(h) terá um máximo em exatamente esse h (porque é o inverso). Portanto:
    • Em h=0 (lata vazia) temos \mu_{\min}(0)=r/z_c=\dfrac{0,0325}{0,06}\approx0,5417.
    • Conforme se adiciona líquido até h\approx0,0211\\ \text{m}, o z_{\text{cg}} diminui (fica mais estável) e, consequentemente, \mu_{\min} aumenta até o máximo.
    • Para h>0,0211\\ \text{m} o z_{\text{cg}} aumenta, portanto \mu_{\min} cai novamente.
    • No nível do líquido do “cheio” ( h\approx0,10666\\ \text{m} ), encontramos \mu_{\min}\approx0,606 (valor já calculado).
  • Assim o gráfico de \mu_{\min}(h) (no eixo vertical) vs h (no eixo horizontal) tem formato de “curva com um pico” em h\approx0,0211\\ \text{m}. Começa em \approx0,542 em h=0, sobe até um máximo (valor máximo pode ser calculado avaliando \mu_{\min} em h_{\text{min}}), e depois decresce até o valor em h_{\text{cheio}}\approx0,606 (note que nesse caso o valor em h_{\text{cheio}} ficou maior que em h=0 porque o máximo é ainda maior).
Se quiser o valor máximo de \mu_{\min} no pico (opcional passo de cálculo): em h_{\text{min}}\approx0,02114\\ \text{m} temos z_{\text{cg}}(h_{\text{min}})\approx0,02112\\ \text{m} (próximo do h encontrado), então
\mu_{\max}=\mu_{\min}(h_{\text{min}})\approx\frac{0,0325}{0,02112}\approx1{,}539.
Portanto o pico do gráfico é aproximadamente 1{,}54 em h\approx21{,}1\\ \text{mm}.
Para traçar o gráfico na prova:
  • Faça uma tabela rápida de pontos (por exemplo h=0,\\\ 0{,}02,\\\ 0{,}05,\\ h_{\text{cheio}}) calculando \mu_{\min}(h) pelas fórmulas acima e ligue os pontos suavemente, marcando o pico em h\approx0{,}0211\\ \text{m}.

Resposta

z_{\text{cg}}(h)=\dfrac{m_c z_c + \tfrac{k}{2}h^2}{m_c + k h}, com k=\rho\pi r^2\approx3{,}484225\\ \text{kg/m}.\n
O nível que minimiza a probabilidade de tombar (minimiza z_{\text{cg}}) é h_{\text{min}}\approx0{,}02114\\ \text{m}=21{,}1\\ \text{mm}.\n
Para a lata “cheia” (354 mL, h_{\text{cheio}}\approx0{,}10666\\ \text{m}) o coeficiente mínimo de atrito para que a lata tombe em vez de deslizar é \mu_{\min,\text{cheia}}\approx0{,}606.\n
Função do coeficiente mínimo em função do nível do líquido:
\mu_{\min}(h)=\frac{r}{z_{\text{cg}}(h)}=r\cdot\frac{m_c + k h}{m_c z_c + \tfrac{k}{2}h^2}.

Exercícios relacionados