4.6 Ar, a
e pressão absoluta de 1 atm , é comprimido adiabaticamente, sem atrito, até uma pressão absoluta de 3 atm. Determine a variação de energia interna.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Temperatura inicial:
. - Pressão inicial:
(pressão absoluta). - Pressão final:
(pressão absoluta). - Processo: compressão adiabática, sem atrito (ou seja, adiabática reversível / isotrópica; típicamente tratada como processo isentrópico para gás ideal).
O que é pedido:
- A variação de energia interna do ar ao sofrer essa compressão.
Observação importante (necessária para resolver): o enunciado não especifica a massa ou a quantidade de ar. Então o resultado será dado por unidade de massa (variação específica de energia interna
, em
) — isto é o procedimento usual quando a massa não é dada. Também apresentarei, se for útil, o valor por mol.
Passo 2
Converter a temperatura inicial
para Kelvin, porque nas fórmulas termodinâmicas usamos temperaturas absolutas.
Fórmula de conversão:
Aplicando:
Então a temperatura inicial é
.
Passo 3
Relacionar temperaturas e pressões em uma compressão adiabática reversível de gás ideal.
Para um gás ideal que sofre um processo adiabático reversível (isentrópico) vale a relação politrópica padrão:
onde
é a razão dos calores específicos
.
Usando
(equação de estado do gás ideal) e eliminando
, obtém-se a relação entre temperaturas e pressões:
Explicando de modo simples:
- Em adiabático reversível o par
varia segundo constante. - Como
, substituindo-se e isolando chega-se à relação acima.
Para o ar seco, à temperatura ambiente, costuma-se usar o valor:
Este valor vem do fato de que o ar é, em boa aproximação, um gás diatômico (nitrogênio e oxigênio), para os quais
à temperatura ambiente.
Passo 4
Calcular a temperatura final
usando a relação acima.
Dados:
,
. O expoente é
Então
Calcule numericamente:
Portanto
. A variação de temperatura é
Passo 5
Relacionar variação de energia interna com variação de temperatura para gás ideal.
Para um gás ideal a energia interna depende só da temperatura. A variação específica de energia interna é
onde
é o calor específico a volume constante (por unidade de massa).
Podemos obter
a partir da constante específica dos gases
e de
:
Para o ar usa-se o valor da constante dos gases específicos:
Assim
(Observação pedagógica: esse valor coincide com o valor tabulado aproximado
usado com frequência.)
Passo 6
Calcular numericamente a variação específica de energia interna.
Usando
e
:
Convertendo para
:
Se for útil dar o valor por mol: o calor molar a volume constante é
onde
. Então
Logo a variação por mol é
Passo 7
Resumo e hipóteses feitas (importante ler antes da prova):
- Assumiu-se ar ideal, comportamento diatômico com
(válido à temperatura ambiente). - Resultado dado por unidade de massa porque a massa não foi informada.
- Processo adiabático e sem atrito foi tratado como adiabático reversível (isentrópico), o que justificou usar
. Se o enunciado significasse adiabático irreversível com atrito, não seria possível usar essa fórmula sem informação adicional.
Força aí — já fizemos o desenvolvimento completo, com todas as fórmulas que precisa decorar para a prova: conversão de temperatura, relação isentrópica
, e
. Você consegue reproduzir isso na prova tranquilamente.