4.6 Ar, a 68^{\circ} \mathrm{F} e pressão absoluta de 1 atm , é comprimido adiabaticamente, sem atrito, até uma pressão absoluta de 3 atm. Determine a variação de energia interna.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Temperatura inicial: 68^\circ\mathrm{F}.
  • Pressão inicial: P_1 = 1\\ \mathrm{atm} (pressão absoluta).
  • Pressão final: P_2 = 3\\ \mathrm{atm} (pressão absoluta).
  • Processo: compressão adiabática, sem atrito (ou seja, adiabática reversível / isotrópica; típicamente tratada como processo isentrópico para gás ideal).
O que é pedido:
  • A variação de energia interna do ar ao sofrer essa compressão.
Observação importante (necessária para resolver): o enunciado não especifica a massa ou a quantidade de ar. Então o resultado será dado por unidade de massa (variação específica de energia interna \Delta u, em \mathrm{J/kg}) — isto é o procedimento usual quando a massa não é dada. Também apresentarei, se for útil, o valor por mol.

Passo 2

Converter a temperatura inicial 68^\circ\mathrm{F} para Kelvin, porque nas fórmulas termodinâmicas usamos temperaturas absolutas.
Fórmula de conversão:
T(^{\circ}\mathrm{C})=\frac{5}{9}\bigl(T(^{\circ}\mathrm{F})-32\bigr)
T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15
Aplicando:
T_1(^{\circ}\mathrm{C})=\frac{5}{9}(68-32)=\frac{5}{9}\cdot 36=20^\circ\mathrm{C}
T_1=20+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K}
Então a temperatura inicial é T_1=293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Relacionar temperaturas e pressões em uma compressão adiabática reversível de gás ideal.
Para um gás ideal que sofre um processo adiabático reversível (isentrópico) vale a relação politrópica padrão:
P V^{\gamma}=\text{constante},
onde \gamma é a razão dos calores específicos \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}.
Usando P V = R T (equação de estado do gás ideal) e eliminando V, obtém-se a relação entre temperaturas e pressões:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Explicando de modo simples:
  • Em adiabático reversível o par (P,V) varia segundo PV^\gamma= constante.
  • Como V=RT/P, substituindo-se e isolando T chega-se à relação acima.
Para o ar seco, à temperatura ambiente, costuma-se usar o valor:
\gamma \approx 1{,}4.
Este valor vem do fato de que o ar é, em boa aproximação, um gás diatômico (nitrogênio e oxigênio), para os quais \gamma\approx 1{,}4 à temperatura ambiente.

Passo 4

Calcular a temperatura final T_2 usando a relação acima.
Dados: \dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{3}{1}=3, \gamma=1{,}4. O expoente é
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=\frac{2}{7}\approx0{,}285714.
Então
\frac{T_2}{T_1}=3^{\,\frac{2}{7}}.
Calcule numericamente:
3^{\,\frac{2}{7}}\approx 1{,}368999\quad\Rightarrow\quad T_2=1{,}368999\cdot 293{,}15\\ \mathrm{K}\approx 401{,}35\\ \mathrm{K}.
Portanto T_2\approx 401{,}35\\ \mathrm{K}. A variação de temperatura é
\Delta T = T_2-T_1 \approx 401{,}35-293{,}15=108{,}20\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Relacionar variação de energia interna com variação de temperatura para gás ideal.
Para um gás ideal a energia interna depende só da temperatura. A variação específica de energia interna é
\Delta u = c_v\,\Delta T,
onde c_v é o calor específico a volume constante (por unidade de massa).
Podemos obter c_v a partir da constante específica dos gases R e de \gamma:
c_v=\frac{R}{\gamma-1}.
Para o ar usa-se o valor da constante dos gases específicos:
R_{\text{ar}}\approx 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Assim
c_v=\frac{287}{1{,}4-1}=\frac{287}{0{,}4}=717{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Observação pedagógica: esse valor coincide com o valor tabulado aproximado c_v\approx 718\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} usado com frequência.)

Passo 6

Calcular numericamente a variação específica de energia interna.
Usando \Delta T\approx 108{,}20\\ \mathrm{K} e c_v=717{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
\Delta u = 717{,}5\cdot 108{,}20\\ \mathrm{J/kg}\approx 77\,687\\ \mathrm{J/kg}.
Convertendo para \mathrm{kJ/kg}:
\Delta u \approx 77{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
Se for útil dar o valor por mol: o calor molar a volume constante é
c_{v,m}=\frac{R_u}{\gamma-1},
onde R_u=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Então
c_{v,m}=\frac{8{,}314}{0{,}4}=20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Logo a variação por mol é
\Delta U_{\text{mol}}=c_{v,m}\,\Delta T\approx 20{,}785\cdot 108{,}20\\ \mathrm{J/mol}\approx 2248{,}7\\ \mathrm{J/mol}\\ (\approx 2{,}249\\ \mathrm{kJ/mol}).

Passo 7

Resumo e hipóteses feitas (importante ler antes da prova):
  • Assumiu-se ar ideal, comportamento diatômico com \gamma=1{,}4 (válido à temperatura ambiente).
  • Resultado dado por unidade de massa porque a massa não foi informada.
  • Processo adiabático e sem atrito foi tratado como adiabático reversível (isentrópico), o que justificou usar \dfrac{T_2}{T_1}=(P_2/P_1)^{(\gamma-1)/\gamma}. Se o enunciado significasse adiabático irreversível com atrito, não seria possível usar essa fórmula sem informação adicional.
Força aí — já fizemos o desenvolvimento completo, com todas as fórmulas que precisa decorar para a prova: conversão de temperatura, relação isentrópica T\leftrightarrow P, e \Delta u=c_v\Delta T. Você consegue reproduzir isso na prova tranquilamente.

Resposta

\Delta u \approx 77{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}
\Delta U_{\text{(por mol)}} \approx 2248{,}7\\ \mathrm{J/mol}

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