4.7 Em um experimento com uma lata de refrigerante, ela foi deixada durante 3 horas em um refrigerador a 40^{\circ} \mathrm{F} para ser resfriada de 75^{\circ} \mathrm{F} até 50^{\circ} \mathrm{F}. Em seguida, foi retirada do refrigerador e exposta ao ambiente a 68^{\circ} \mathrm{F}. Quanto tempo ela levou para atingir 60^{\circ} \mathrm{F} ? Considere que, para ambos os processos, a transferência de calor é modelada por Q \approx k\left(T-T_{\text {max }}\right), onde T é a temperatura da lata, T_{\text {mil }} a do ambiente e k é um coeficiente de transferência de calor.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede.
Temperaturas e tempos dados (todos extraídos do enunciado):
Temperatura inicial da lata ao entrar no refrigerador: T_{0,\text{fr}}=75^\circ\mathrm{F}.
Temperatura do refrigerador (ambiente do primeiro processo): T_{\text{amb,fr}}=40^\circ\mathrm{F}.
Após 3 horas no refrigerador a lata chegou em T(3)=50^\circ\mathrm{F}.
Depois a lata foi colocada no ambiente externo de temperatura T_{\text{amb,ex}}=68^\circ\mathrm{F} (segundo processo), com temperatura inicial do segundo processo T_{0,\text{ex}}=50^\circ\mathrm{F}.
Modelo que vamos usar (dado no enunciado): a transferência de calor é proporcional à diferença entre a temperatura da lata e a do ambiente, ou seja, a lei de resfriamento/aquecimento de Newton.
Pergunta que precisamos responder:
Quanto tempo (a partir do momento em que a lata foi retirada do refrigerador) ela leva para atingir 60^\circ\mathrm{F} no ambiente de 68^\circ\mathrm{F}?
Passo 2
Explicando o modelo físico e a equação diferencial que vamos resolver (aula rápida e prática).
A forma usual da lei de Newton para a temperatura T(t) da lata é
T(t) é a temperatura da lata no instante t (em horas, se t estiver em horas),
T_{\text{amb}} é a temperatura do ambiente (constante durante o processo),
k>0 é o coeficiente de troca térmica (unidade \text{h}^{-1} se t em horas).
Interpretação leve: essa equação diz que a velocidade com que a lata muda de temperatura é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente; quando a lata está mais quente que o ambiente a derivada é negativa (esfria) e quando está mais fria, a derivada é positiva (aquece).
Passo 3
Resolver a equação diferencial de forma explícita (passo-a-passo que dá para reproduzir na prova).
Partimos de
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_{\text{amb}}\bigr).
É uma equação diferencial linear simples de primeira ordem; podemos separar variáveis:
\frac{dT}{T-T_{\text{amb}}} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados (constante de integração C):
-3k = \ln\!\left(\tfrac{2}{7}\right) \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{3}\ln\!\left(\tfrac{2}{7}\right) = \frac{1}{3}\ln\!\left(\tfrac{7}{2}\right).
Passo 5
Calcular numericamente k (mostrar conta para provar que dá para fazer na prova com calculadora ou tabelas de log).
Avaliando:
\ln\!\left(\tfrac{7}{2}\right)\approx 1,252762968\quad\Rightarrow\quad k \approx \frac{1,252762968}{3}\approx 0,417587656\\ \text{h}^{-1}.
Arredondando razoavelmente para usar a seguir, podemos usar
k \approx 0,4176\\ \text{h}^{-1}.
Passo 6
Configurar a equação para o segundo processo (aquecimento no ambiente a 68^\circ\mathrm{F}) e isolar o tempo necessário para atingir 60^\circ\mathrm{F}.
Assim, o tempo é aproximadamente 1\\ \text{h}\\\ 56\\ \text{min}\\\ 33{,}2\\ \text{s}.
Passo 8
Comentário final rápido (ânimo): o procedimento usado é padrão em provas — transformar o enunciado em uma aplicação da solução exponencial de Newton, usar os dados de um processo para achar k e depois aplicar a mesma constante ao segundo processo. Dá para fazer tudo passo a passo na prova sem pular nada. Força aí — você já tem o método pronto para repetir em outras questões semelhantes!