4.7 Em um experimento com uma lata de refrigerante, ela foi deixada durante 3 horas em um refrigerador a 40^{\circ} \mathrm{F} para ser resfriada de 75^{\circ} \mathrm{F} até 50^{\circ} \mathrm{F}. Em seguida, foi retirada do refrigerador e exposta ao ambiente a 68^{\circ} \mathrm{F}. Quanto tempo ela levou para atingir 60^{\circ} \mathrm{F} ? Considere que, para ambos os processos, a transferência de calor é modelada por Q \approx k\left(T-T_{\text {max }}\right), onde T é a temperatura da lata, T_{\text {mil }} a do ambiente e k é um coeficiente de transferência de calor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede.
  • Temperaturas e tempos dados (todos extraídos do enunciado):
    • Temperatura inicial da lata ao entrar no refrigerador: T_{0,\text{fr}}=75^\circ\mathrm{F}.
    • Temperatura do refrigerador (ambiente do primeiro processo): T_{\text{amb,fr}}=40^\circ\mathrm{F}.
    • Após 3 horas no refrigerador a lata chegou em T(3)=50^\circ\mathrm{F}.
    • Depois a lata foi colocada no ambiente externo de temperatura T_{\text{amb,ex}}=68^\circ\mathrm{F} (segundo processo), com temperatura inicial do segundo processo T_{0,\text{ex}}=50^\circ\mathrm{F}.
  • Modelo que vamos usar (dado no enunciado): a transferência de calor é proporcional à diferença entre a temperatura da lata e a do ambiente, ou seja, a lei de resfriamento/aquecimento de Newton.
  • Pergunta que precisamos responder:
    • Quanto tempo (a partir do momento em que a lata foi retirada do refrigerador) ela leva para atingir 60^\circ\mathrm{F} no ambiente de 68^\circ\mathrm{F}?

Passo 2

Explicando o modelo físico e a equação diferencial que vamos resolver (aula rápida e prática).
  • A forma usual da lei de Newton para a temperatura T(t) da lata é
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_{\text{amb}}\bigr),
onde:
  • T(t) é a temperatura da lata no instante t (em horas, se t estiver em horas),
  • T_{\text{amb}} é a temperatura do ambiente (constante durante o processo),
  • k>0 é o coeficiente de troca térmica (unidade \text{h}^{-1} se t em horas).
  • Interpretação leve: essa equação diz que a velocidade com que a lata muda de temperatura é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente; quando a lata está mais quente que o ambiente a derivada é negativa (esfria) e quando está mais fria, a derivada é positiva (aquece).

Passo 3

Resolver a equação diferencial de forma explícita (passo-a-passo que dá para reproduzir na prova).
  • Partimos de
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_{\text{amb}}\bigr).
  • É uma equação diferencial linear simples de primeira ordem; podemos separar variáveis:
\frac{dT}{T-T_{\text{amb}}} = -k\,dt.
  • Integramos ambos os lados (constante de integração C):
\int \frac{dT}{T-T_{\text{amb}}} = \int -k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln\bigl|T-T_{\text{amb}}\bigr| = -kt + C.
  • Exponenciando e ajustando a constante obtemos a forma geral da solução:
T(t) = T_{\text{amb}} + \bigl(T(0)-T_{\text{amb}}\bigr)e^{-kt},
onde T(0) é a temperatura inicial no começo do processo considerado.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao primeiro processo (resfriamento no refrigerador) para determinar k.
  • Para o primeiro processo:
    • T_{\text{amb}}=T_{\text{amb,fr}}=40^\circ\mathrm{F},
    • T(0)=T_{0,\text{fr}}=75^\circ\mathrm{F},
    • T(3)=50^\circ\mathrm{F} para t=3\\ \text{h}.
  • Usando a solução:
T(3)=40 + (75-40)e^{-3k}.
  • Substituindo T(3)=50:
50 = 40 + 35\,e^{-3k}.
  • Isolando o exponencial:
35\,e^{-3k} = 10 \quad\Rightarrow\quad e^{-3k} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}.
  • Tomando logaritmo natural:
-3k = \ln\!\left(\tfrac{2}{7}\right) \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{3}\ln\!\left(\tfrac{2}{7}\right) = \frac{1}{3}\ln\!\left(\tfrac{7}{2}\right).

Passo 5

Calcular numericamente k (mostrar conta para provar que dá para fazer na prova com calculadora ou tabelas de log).
  • Avaliando:
\ln\!\left(\tfrac{7}{2}\right)\approx 1,252762968\quad\Rightarrow\quad k \approx \frac{1,252762968}{3}\approx 0,417587656\\ \text{h}^{-1}.
  • Arredondando razoavelmente para usar a seguir, podemos usar
k \approx 0,4176\\ \text{h}^{-1}.

Passo 6

Configurar a equação para o segundo processo (aquecimento no ambiente a 68^\circ\mathrm{F}) e isolar o tempo necessário para atingir 60^\circ\mathrm{F}.
  • Para o segundo processo:
    • T_{\text{amb}}=T_{\text{amb,ex}}=68^\circ\mathrm{F},
    • T(0)=T_{0,\text{ex}}=50^\circ\mathrm{F} (temperatura ao sair do refrigerador).
  • A solução geral dá:
T(t)=68 + (50-68)e^{-kt} = 68 - 18\,e^{-kt}.
  • Queremos t tal que T(t)=60^\circ\mathrm{F}. Então:
60 = 68 - 18\,e^{-kt}.
  • Isolando o exponencial:
-8 = -18\,e^{-kt} \quad\Rightarrow\quad e^{-kt} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}.
  • Tomando logaritmo natural e isolando t:
-kt = \ln\!\left(\tfrac{4}{9}\right) \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\tfrac{4}{9}\right) = \frac{1}{k}\ln\!\left(\tfrac{9}{4}\right).

Passo 7

Calcular numericamente o tempo t e converter para horas, minutos e segundos.
  • Usando o valor de k calculado no Passo 5:
t = \frac{1}{k}\ln\!\left(\tfrac{9}{4}\right).
  • Avaliando numericamente:
\ln\!\left(\tfrac{9}{4}\right)\approx 0,810930216, \quad k\approx 0,417587656,
t \approx \frac{0,810930216}{0,417587656}\approx 1,942558\\ \text{h}.
  • Converter para horas, minutos e segundos:
    • Horas inteiras: 1\\ \text{h}.
    • Minutos: 0,942558\times 60 \approx 56,5535\\ \text{min} 56\\ \text{min}.
    • Segundos: 0,5535\times 60 \approx 33,2\\ \text{s}.
  • Assim, o tempo é aproximadamente 1\\ \text{h}\\\ 56\\ \text{min}\\\ 33{,}2\\ \text{s}.

Passo 8

Comentário final rápido (ânimo): o procedimento usado é padrão em provas — transformar o enunciado em uma aplicação da solução exponencial de Newton, usar os dados de um processo para achar k e depois aplicar a mesma constante ao segundo processo. Dá para fazer tudo passo a passo na prova sem pular nada. Força aí — você já tem o método pronto para repetir em outras questões semelhantes!

Resposta

t \approx 1,943\\ \text{h} \approx 1\\ \text{h}\\\ 56\\ \text{min}\\\ 33{,}2\\ \text{s}

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