Questão 12. Uma partícula de massa
é obrigada a mover-se por uma distância
. O coeficiente de atrito cinético entre a partícula e o piso é proporcional à sua posição, isto é
para
uma constante. Em
, o módulo da velocidade da partícula é
. Após atingir a posição
, resolva:
a) Qual o trabalho (
) feito pela força de atrito?
b) Qual a energia cinética (
) da partícula?
a) Qual o trabalho (
b) Qual a energia cinética (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas: \n
- Informação: a partícula tem massa
. \n - Informação: ela deve mover-se da posição
até . \n - Informação: o coeficiente de atrito cinético depende da posição segundo
, onde é constante. \n - Informação: em
o módulo da velocidade inicial é . \n - Pergunta (a): qual o trabalho
realizado pela força de atrito quando a partícula vai de até ? \n - Pergunta (b): qual a energia cinética
da partícula ao atingir ? \n
Passo 2
Primeiro precisamos escrever a força de atrito em função de
.\n
- A força normal sobre a partícula é a força peso equilibrada: a superfície é horizontal, logo a normal tem módulo
, onde é a aceleração da gravidade. (Aqui assumimos que não há aceleração vertical.) \n - O coeficiente de atrito é
. A força de atrito cinético tem módulo . \n - A direção da força de atrito é sempre oposta ao deslocamento (ou ao sentido da velocidade). Se tomarmos o deslocamento positivo no sentido do movimento (eixo
), então a força de atrito é (força negativa ao longo do eixo ). \n
Observação sobre variáveis:é a posição ao longo do piso, tem dimensão de para que seja adimensional.
Passo 3
Agora definimos o trabalho da força de atrito quando a partícula se desloca de
até
.\n
- Definição: o trabalho de uma força ao longo de um eixo é
. Aqui o produto escalar reduz para produto algébrico porque tudo está no eixo . \n - Como
e o deslocamento infinitesimal é (positivo no sentido do movimento), o trabalho da força de atrito é\n
Passo 4
Calculemos a integral passo a passo.\n
- A integral de
é . \n - Aplicando isso:
- Avaliando o colchete:
Esse é o trabalho total realizado pela força de atrito entre
e
. Note o sinal negativo: atrito retira energia do sistema.
Passo 5
Agora vamos encontrar a energia cinética em
usando o Teorema do Trabalho-Energia.\n
- Enunciado do teorema (explicado): a variação da energia cinética de uma partícula é igual ao trabalho total das forças que atuam sobre ela:
. \n - Aqui, as forças peso e normal não realizam trabalho líquido ao longo do deslocamento horizontal (ou realizam trabalho nulo), então o único trabalho relevante é o do atrito que calculamos. Logo
. \n - Energia cinética inicial:
. Então
Passo 6
Substituímos
obtido no Passo 4 na expressão da energia cinética.\n
- Substituindo:
- Podemos fatorar
:
Passo 7
Interpretação e condição física (importante para prova): \n
- A expressão mostra que a energia cinética em
diminui devido ao termo de atrito. \n - Se
, então e a partícula chega em com velocidade real. Se , a fórmula formal daria , o que não faz sentido físico — isso indica que a partícula teria parado antes de atingir . \n - Como o enunciado diz que a partícula é obrigada a mover-se por
, é implícito que a condição deve ser satisfeita no caso considerado.