Questão 12. Uma partícula de massa m é obrigada a mover-se por uma distância D. O coeficiente de atrito cinético entre a partícula e o piso é proporcional à sua posição, isto é \mu=b x para b uma constante. Em t=0, o módulo da velocidade da partícula é v_{0}. Após atingir a posição x=D, resolva:
a) Qual o trabalho ( W ) feito pela força de atrito?
b) Qual a energia cinética ( T ) da partícula?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas: \n
  • Informação: a partícula tem massa \,m\,. \n
  • Informação: ela deve mover-se da posição \,x=0\, até \,x=D\,. \n
  • Informação: o coeficiente de atrito cinético depende da posição segundo \,\mu(x)=b\,x\,, onde b é constante. \n
  • Informação: em \,t=0\, o módulo da velocidade inicial é \,v_{0}\,. \n
  • Pergunta (a): qual o trabalho \,W\, realizado pela força de atrito quando a partícula vai de \,x=0\, até \,x=D\,? \n
  • Pergunta (b): qual a energia cinética \,T\, da partícula ao atingir \,x=D\,? \n

Passo 2

Primeiro precisamos escrever a força de atrito em função de \,x.\n
  • A força normal sobre a partícula é a força peso equilibrada: a superfície é horizontal, logo a normal tem módulo \,N= m g\,, onde \,g\, é a aceleração da gravidade. (Aqui assumimos que não há aceleração vertical.) \n
  • O coeficiente de atrito é \,\mu(x)=b x\,. A força de atrito cinético tem módulo \,f_k=\mu(x)N = b x \, m g\,. \n
  • A direção da força de atrito é sempre oposta ao deslocamento (ou ao sentido da velocidade). Se tomarmos o deslocamento positivo no sentido do movimento (eixo x), então a força de atrito é \,F_{\text{at}}(x) = - b m g \, x\, (força negativa ao longo do eixo x). \n
    Observação sobre variáveis: \,x\, é a posição ao longo do piso, \,b\, tem dimensão de \text{comprimento}^{-1} para que \mu seja adimensional.

Passo 3

Agora definimos o trabalho da força de atrito quando a partícula se desloca de \,x=0\, até \,x=D\,.\n
  • Definição: o trabalho de uma força ao longo de um eixo é \,W=\displaystyle\int_{x_i}^{x_f} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}\,. Aqui o produto escalar reduz para produto algébrico porque tudo está no eixo x. \n
  • Como \,F_{\text{at}}(x)=-b m g x\, e o deslocamento infinitesimal é \,dx\, (positivo no sentido do movimento), o trabalho da força de atrito é\n
W=\int_{0}^{D} F_{\text{at}}(x)\,dx=\int_{0}^{D} \big(-b m g x\big)\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral passo a passo.\n
  • A integral de x é \displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}. \n
  • Aplicando isso:
W = - b m g \int_{0}^{D} x\,dx = - b m g \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{D}.
  • Avaliando o colchete:
W = - b m g \cdot \frac{D^{2}}{2} = -\frac{1}{2}\,b m g D^{2}.
Esse é o trabalho total realizado pela força de atrito entre \,x=0\, e \,x=D. Note o sinal negativo: atrito retira energia do sistema.

Passo 5

Agora vamos encontrar a energia cinética em \,x=D\, usando o Teorema do Trabalho-Energia.\n
  • Enunciado do teorema (explicado): a variação da energia cinética de uma partícula é igual ao trabalho total das forças que atuam sobre ela: \,\Delta T = W_{\text{net}}\,. \n
  • Aqui, as forças peso e normal não realizam trabalho líquido ao longo do deslocamento horizontal (ou realizam trabalho nulo), então o único trabalho relevante é o do atrito que calculamos. Logo \,\Delta T = W_{\text{at}}\,. \n
  • Energia cinética inicial: \,T(0)=\dfrac{1}{2} m v_{0}^{2}. Então
T(D)=T(0)+W_{\text{at}}=\frac{1}{2} m v_{0}^{2}+W.

Passo 6

Substituímos W obtido no Passo 4 na expressão da energia cinética.\n
  • Substituindo:
T(D)=\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{1}{2}\, b m g D^{2}.
  • Podemos fatorar \tfrac{m}{2}:
T(D)=\frac{m}{2}\big(v_{0}^{2}-b g D^{2}\big).

Passo 7

Interpretação e condição física (importante para prova): \n
  • A expressão mostra que a energia cinética em \,x=D\, diminui devido ao termo de atrito. \n
  • Se \,v_{0}^{2}-b g D^{2}\ge 0\,, então \,T(D)\ge 0\, e a partícula chega em \,x=D\, com velocidade real. Se \,v_{0}^{2}-b g D^{2}<0\,, a fórmula formal daria T(D)<0, o que não faz sentido físico — isso indica que a partícula teria parado antes de atingir \,D. \n
  • Como o enunciado diz que a partícula é obrigada a mover-se por \,D\,, é implícito que a condição \,v_{0}^{2}\ge b g D^{2}\, deve ser satisfeita no caso considerado.

Resposta

\displaystyle W = -\frac{1}{2}\,b m g D^{2}\n
\displaystyle T(D)=\frac{m}{2}\big(v_{0}^{2}-b g D^{2}\big)

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