Questão 5. Uma partícula de massa m se movimenta em uma dimensão sob a ação de uma força conservativa cujo potencial é dado por V(x)=V_{0}\left(\frac{x^{2}}{a}+\frac{b}{x}\right). Considere V_{0}, a e b constantes positivas com dimensões apropriadas.
a) Qual a força?
b) Qual a posição de equilíbrio? É posição estável? R: x=(b a / 2)^{1 / 3} e estável.
c) Calcule a frequência natural de oscilação em torno da posição de equilíbrio. R: \omega= \sqrt{4 V_{0} /(a m)}
d) Qual o período de oscilação? R: T=2 \pi \sqrt{a m /\left(4 V_{0}\right)}

Passo 1

O enunciado dá o potencial
V(x)=V_{0}\left(\frac{x^{2}}{a}+\frac{b}{x}\right),
com V_{0}, a e b constantes positivas (com as dimensões apropriadas). Pede-se:
a) a força F(x) que age sobre a partícula;
b) a posição de equilíbrio e se ela é estável (o enunciado já sugere a resposta x=\left(\dfrac{b a}{2}\right)^{1/3} e estável);
c) a frequência natural de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio;
d) o período dessas oscilações.
Informações relevantes listadas: V(x) acima, massa da partícula m (positiva), constantes V_0>0, a>0, b>0. Nenhuma outra informação numérica foi dada.

Passo 2

Encontrar a força a partir do potencial — regra física e cálculo:
  • Em mecânica clássica unidimensional a relação entre força e potencial é
F(x)=-\frac{dV}{dx}.
Aqui vou primeiro calcular a derivada dV/dx. Como V(x)=V_{0}\left(\dfrac{x^{2}}{a}+\dfrac{b}{x}\right), aplico regras básicas de derivação (derivada de x^2 é 2x; derivada de 1/x é -1/x^2; constantes multiplicativas saem da derivada). Assim:
\frac{dV}{dx}=V_{0}\!\left(\frac{2x}{a}-\frac{b}{x^{2}}\right).
Agora uso F(x)=-dV/dx:
F(x)=-V_{0}\!\left(\frac{2x}{a}-\frac{b}{x^{2}}\right).
Posso rearranjar para uma forma mais explícita:
F(x)=-\frac{2V_{0}}{a}\,x+\frac{V_{0}b}{x^{2}}.
Essa é a expressão da força em função de x. Interpretação rápida: a primeira parcela é proporcional a x (como uma mola efetiva com sinal negativo) e a segunda é uma força de repulsão que cresce quando x diminui (devido ao termo b/x no potencial).

Passo 3

Posição de equilíbrio e estabilidade:
  • Posição de equilíbrio (extremo do potencial) é onde a força é zero, i.e. F(x)=0, equivalente a dV/dx=0. Tomando a expressão de dV/dx:
\frac{dV}{dx}=V_{0}\!\left(\frac{2x}{a}-\frac{b}{x^{2}}\right)=0.
Como V_{0}\neq 0, isso dá
\frac{2x}{a}-\frac{b}{x^{2}}=0.
Multiplicando ambos os lados por x^{2} (e lembrando que em equilíbrio procuramos x>0 dado b,a>0),
\frac{2x^{3}}{a}-b=0 \quad\Rightarrow\quad x^{3}=\frac{ab}{2}.
Portanto a posição de equilíbrio positiva é
x_{0}=\left(\frac{ab}{2}\right)^{1/3},
que coincide com a resposta sugerida no enunciado.
  • Estabilidade: para verificar se é mínimo (estável) ou máximo (instável) usamos a segunda derivada do potencial:
\frac{d^{2}V}{dx^{2}}=V_{0}\!\left(\frac{2}{a}+\frac{2b}{x^{3}}\right).
Explico: derivei \frac{dV}{dx}=V_0(2x/a - b x^{-2}); derivando novamente, a derivada de 2x/a é 2/a e da -b x^{-2} é +2b x^{-3}. Agora avalio em x=x_{0}. Usando a relação de equilíbrio x_{0}^{3}=ab/2 obtemos
\frac{b}{x_{0}^{3}}=\frac{b}{ab/2}=\frac{2}{a}.
Substituindo em d^{2}V/dx^{2},
\left.\frac{d^{2}V}{dx^{2}}\right|_{x_{0}}=V_{0}\!\left(\frac{2}{a}+2\cdot\frac{2}{a}\right)=V_{0}\cdot\frac{6}{a}=\frac{6V_{0}}{a}.
Como V_{0}>0 e a>0, temos \left.d^{2}V/dx^{2}\right|_{x_{0}}>0, logo x_{0} é um mínimo de V e, portanto, uma posição de equilíbrio estável. (Resumo: segundo derivada positiva → mínimo → estável.)

Passo 4

Frequência natural de pequenas oscilações:
  • Teoria curta e intuitiva: perto de um mínimo x_{0} o potencial pode ser aproximado por uma parábola (expansão de Taylor até segundo ordem):
V(x)\approx V(x_{0})+\frac{1}{2}\,V''(x_{0})\,(x-x_{0})^{2},
onde V''(x_{0}) é a segunda derivada no mínimo. Essa forma é idêntica ao potencial de um oscilador harmônico de constante elástica k=V''(x_{0}). Para um oscilador harmônico linear com massa m e constante k, a equação é m\ddot{\xi}=-k\xi (com \xi=x-x_{0}), cuja frequência angular natural é
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{V''(x_{0})}{m}}.
  • Já calculamos \left.V''(x)\right|_{x_{0}}=\dfrac{6V_{0}}{a}. Logo
\omega=\sqrt{\frac{6V_{0}}{a m}}.
Essa é a frequência angular das pequenas oscilações em torno de x_{0}.

Passo 5

Período das oscilações:
  • O período T está relacionado com \omega por T=2\pi/\omega. Portanto,
T=2\pi\sqrt{\frac{a m}{6V_{0}}}.
Essa é a expressão do período das pequenas oscilações em torno de x_{0}.

Resposta

a) F(x)=-V_{0}\!\left(\dfrac{2x}{a}-\dfrac{b}{x^{2}}\right)=-\dfrac{2V_{0}}{a}x+\dfrac{V_{0}b}{x^{2}}
b) x_{0}=\left(\dfrac{ab}{2}\right)^{1/3}. Estável (pois \left.V''(x_{0})=6V_{0}/a>0\right).
c) \omega=\sqrt{\dfrac{6V_{0}}{a m}}
d) T=2\pi\sqrt{\dfrac{a m}{6V_{0}}}

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