Questão 5. Uma partícula de massa m se movimenta em uma dimensão sob a ação de uma força conservativa cujo potencial é dado por V(x)=V_{0}\left(\frac{x^{2}}{a}+\frac{b}{x}\right). Considere V_{0}, a e b constantes positivas com dimensões apropriadas.
a) Qual a força?
b) Qual a posição de equilíbrio? É posição estável? R: x=(b a / 2)^{1 / 3} e estável.
c) Calcule a frequência natural de oscilação em torno da posição de equilíbrio. R: \omega= \sqrt{4 V_{0} /(a m)}
d) Qual o período de oscilação? R: T=2 \pi \sqrt{a m /\left(4 V_{0}\right)}
com V_{0}, a e b constantes positivas (com as dimensões apropriadas). Pede-se:
a) a força F(x) que age sobre a partícula;
b) a posição de equilíbrio e se ela é estável (o enunciado já sugere a resposta x=\left(\dfrac{b a}{2}\right)^{1/3} e estável);
c) a frequência natural de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio;
d) o período dessas oscilações.
Informações relevantes listadas: V(x) acima, massa da partícula m (positiva), constantes V_0>0, a>0, b>0. Nenhuma outra informação numérica foi dada.
Passo 2
Encontrar a força a partir do potencial — regra física e cálculo:
Em mecânica clássica unidimensional a relação entre força e potencial é
F(x)=-\frac{dV}{dx}.
Aqui vou primeiro calcular a derivada dV/dx. Como V(x)=V_{0}\left(\dfrac{x^{2}}{a}+\dfrac{b}{x}\right), aplico regras básicas de derivação (derivada de x^2 é 2x; derivada de 1/x é -1/x^2; constantes multiplicativas saem da derivada). Assim:
Essa é a expressão da força em função de x. Interpretação rápida: a primeira parcela é proporcional a x (como uma mola efetiva com sinal negativo) e a segunda é uma força de repulsão que cresce quando x diminui (devido ao termo b/x no potencial).
Passo 3
Posição de equilíbrio e estabilidade:
Posição de equilíbrio (extremo do potencial) é onde a força é zero, i.e. F(x)=0, equivalente a dV/dx=0. Tomando a expressão de dV/dx:
Explico: derivei \frac{dV}{dx}=V_0(2x/a - b x^{-2}); derivando novamente, a derivada de 2x/a é 2/a e da -b x^{-2} é +2b x^{-3}. Agora avalio em x=x_{0}. Usando a relação de equilíbrio x_{0}^{3}=ab/2 obtemos
Como V_{0}>0 e a>0, temos \left.d^{2}V/dx^{2}\right|_{x_{0}}>0, logo x_{0} é um mínimo de V e, portanto, uma posição de equilíbrio estável. (Resumo: segundo derivada positiva → mínimo → estável.)
Passo 4
Frequência natural de pequenas oscilações:
Teoria curta e intuitiva: perto de um mínimo x_{0} o potencial pode ser aproximado por uma parábola (expansão de Taylor até segundo ordem):
onde V''(x_{0}) é a segunda derivada no mínimo. Essa forma é idêntica ao potencial de um oscilador harmônico de constante elástica k=V''(x_{0}). Para um oscilador harmônico linear com massa m e constante k, a equação é m\ddot{\xi}=-k\xi (com \xi=x-x_{0}), cuja frequência angular natural é
Já calculamos \left.V''(x)\right|_{x_{0}}=\dfrac{6V_{0}}{a}. Logo
\omega=\sqrt{\frac{6V_{0}}{a m}}.
Essa é a frequência angular das pequenas oscilações em torno de x_{0}.
Passo 5
Período das oscilações:
O período T está relacionado com \omega por T=2\pi/\omega. Portanto,
T=2\pi\sqrt{\frac{a m}{6V_{0}}}.
Essa é a expressão do período das pequenas oscilações em torno de x_{0}.
Resposta
a) F(x)=-V_{0}\!\left(\dfrac{2x}{a}-\dfrac{b}{x^{2}}\right)=-\dfrac{2V_{0}}{a}x+\dfrac{V_{0}b}{x^{2}}
b) x_{0}=\left(\dfrac{ab}{2}\right)^{1/3}. Estável (pois \left.V''(x_{0})=6V_{0}/a>0\right).
c) \omega=\sqrt{\dfrac{6V_{0}}{a m}}
d) T=2\pi\sqrt{\dfrac{a m}{6V_{0}}}