Uma massa
presa a um fio sem massa gira em um círculo vertical, mantendo sua energia total constante. Determine
, a diferença na magnitude da tensão entre os pontos mais alto e mais baixo.
Passo 1
O enunciado pede a diferença entre as magnitudes das tensões nos pontos mais alto e mais baixo de um movimento circular vertical, isto é, calcular
, onde
é a tensão no ponto mais alto e
é a tensão no ponto mais baixo. As informações dadas (implícitas) são: a massa é
, o fio tem massa nula e o movimento é circular de raio
na vertical; a energia mecânica total é constante (logo não há perda de energia). Precisamos relacionar tensões e velocidades nesses pontos e usar conservação de energia para ligar as velocidades.
Passo 2
Vamos introduzir notações claras:
Também lembraremos da aceleração centrípeta para movimento circular: a aceleração dirigida ao centro tem magnitude
Usaremos a segunda lei de Newton na direção radial nos dois pontos e a conservação de energia entre eles.
Passo 3
Escrevendo a segunda lei de Newton na direção radial no ponto mais alto. No topo o centro do círculo está abaixo do móvel; as forças com componente radial apontando para o centro (para baixo) são a tensão e o peso. Tomando como positivo a direção para o centro (para baixo) temos:
As forças na direção radial para baixo são
(para baixo) e
(para baixo), então
Isolando
obtemos
Passo 4
Agora a segunda lei no ponto mais baixo. No fundo, o centro do círculo está acima do móvel; a força radial dirigida ao centro (para cima) é a tensão
menos o peso
. Tomando positivo para cima (direção ao centro) temos:
Isolando
obtemos
Passo 5
Subtraindo as duas expressões para obter
:
Agora precisamos de
, que vem da conservação da energia entre topo e fundo.
Passo 6
Usando conservação de energia mecânica entre o ponto mais baixo e o ponto mais alto. A diferença de altura entre fundo e topo é
. Tomando energia potencial zero no ponto mais baixo:
Como a energia total é constante:
Multiplicando por
e reorganizando:
Portanto
Passo 7
Substituindo
na expressão do Passo 5:
Simplificando o primeiro termo:
logo
Passo 8
Somando os termos:
Interpretação física: o sinal negativo indica que a tensão no topo é menor que a tensão no fundo; em módulo a diferença entre a tensão no fundo e a do topo é
(ou seja
).