(2,0) Uma massa m presa a um fio sem massa gira em um círculo vertical, mantendo sua energia total constante. Determine T_{1}-T_{2}, a diferença na magnitude da tensão entre os pontos mais alto e mais baixo.

Passo 1

O enunciado pede a diferença entre as magnitudes das tensões nos pontos mais alto e mais baixo de um movimento circular vertical, isto é, calcular T_{1}-T_{2}, onde T_{1} é a tensão no ponto mais alto e T_{2} é a tensão no ponto mais baixo. As informações dadas (implícitas) são: a massa é m, o fio tem massa nula e o movimento é circular de raio r na vertical; a energia mecânica total é constante (logo não há perda de energia). Precisamos relacionar tensões e velocidades nesses pontos e usar conservação de energia para ligar as velocidades.

Passo 2

Vamos introduzir notações claras:
T_{1} \text{ = tensão no ponto mais alto},\qquad T_{2} \text{ = tensão no ponto mais baixo},ãã
v_{1} \text{ = velocidade no ponto mais alto},\qquad v_{2} \text{ = velocidade no ponto mais baixo},
r \text{ = raio do círculo},\qquad g \text{ = aceleração da gravidade}.íçã
Também lembraremos da aceleração centrípeta para movimento circular: a aceleração dirigida ao centro tem magnitude
a_{c}=\frac{v^{2}}{r}.
Usaremos a segunda lei de Newton na direção radial nos dois pontos e a conservação de energia entre eles.

Passo 3

Escrevendo a segunda lei de Newton na direção radial no ponto mais alto. No topo o centro do círculo está abaixo do móvel; as forças com componente radial apontando para o centro (para baixo) são a tensão e o peso. Tomando como positivo a direção para o centro (para baixo) temos:
\text{(resultante radial para baixo)}=m\frac{v_{1}^{2}}{r}.
As forças na direção radial para baixo são T_{1} (para baixo) e mg (para baixo), então
T_{1}+mg=m\frac{v_{1}^{2}}{r}.
Isolando T_{1} obtemos
T_{1}=m\frac{v_{1}^{2}}{r}-mg.

Passo 4

Agora a segunda lei no ponto mais baixo. No fundo, o centro do círculo está acima do móvel; a força radial dirigida ao centro (para cima) é a tensão T_{2} menos o peso mg. Tomando positivo para cima (direção ao centro) temos:
T_{2}-mg=m\frac{v_{2}^{2}}{r}.
Isolando T_{2} obtemos
T_{2}=m\frac{v_{2}^{2}}{r}+mg.

Passo 5

Subtraindo as duas expressões para obter T_{1}-T_{2}:
T_{1}-T_{2}= \left(m\frac{v_{1}^{2}}{r}-mg\right)-\left(m\frac{v_{2}^{2}}{r}+mg\right) = m\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{r}-2mg.
Agora precisamos de v_{1}^{2}-v_{2}^{2}, que vem da conservação da energia entre topo e fundo.

Passo 6

Usando conservação de energia mecânica entre o ponto mais baixo e o ponto mais alto. A diferença de altura entre fundo e topo é 2r. Tomando energia potencial zero no ponto mais baixo:
\text{Energia no fundo: }\frac{1}{2}m v_{2}^{2}+0.
\text{Energia no topo: }\frac{1}{2}m v_{1}^{2}+m g(2r).
Como a energia total é constante:
\frac{1}{2}m v_{2}^{2}=\frac{1}{2}m v_{1}^{2}+m g(2r).
Multiplicando por 2/m e reorganizando:
v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+4gr.
Portanto
v_{1}^{2}-v_{2}^{2}=-4gr.

Passo 7

Substituindo v_{1}^{2}-v_{2}^{2}=-4gr na expressão do Passo 5:
T_{1}-T_{2}=m\frac{-4gr}{r}-2mg.
Simplificando o primeiro termo:
m\frac{-4gr}{r}=-4mg,
logo
T_{1}-T_{2}=-4mg-2mg.

Passo 8

Somando os termos:
T_{1}-T_{2}=-6mg.
Interpretação física: o sinal negativo indica que a tensão no topo é menor que a tensão no fundo; em módulo a diferença entre a tensão no fundo e a do topo é 6mg (ou seja T_{2}-T_{1}=6mg).

Resposta

-6mg

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