Questão 3(\mathbf{2 . 0 p}) : Duas fontes pontuais, \mathrm{S}_{1} \mathrm{e} \mathrm{S}_{2}, separadas por uma distância \mathrm{D}=1 \lambda, emitem ondas sonoras de mesma amplitude, fase e comprimento de onda \lambda. (a) Qual é a diferença de percurso das ondas de \mathrm{S}_{1} e \mathrm{S}_{2} no ponto \mathrm{P}_{1}, que está na mediatriz do segmento de reta que liga as duas fontes, a uma distância das fontes maior que D ? Que tipo de interferência ocorre no ponto \mathrm{P}_{1} ? (b) Quais são a diferença de percurso e o tipo de interferência no ponto \mathrm{P}_{2} ?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (tudo que o problema dá e o que é pedido):\n
Duas fontes pontuais \mathrm{S}_{1} e \mathrm{S}_{2} estão separadas por uma distância \mathrm{D}=1\lambda. As fontes emitem ondas sonoras de mesma amplitude, mesma fase e mesmo comprimento de onda \lambda.\n
Perguntas do enunciado:\n
(a) No ponto \mathrm{P}_{1}, que está na mediatriz (perpendicular bissetriz) do segmento que liga \mathrm{S}_{1} e \mathrm{S}_{2} e cuja distância até as fontes é maior que D: qual é a diferença de percurso entre as ondas vindas de \mathrm{S}_{1} e \mathrm{S}_{2}? Que tipo de interferência ocorre em \mathrm{P}_{1}?\n
(b) Para o ponto \mathrm{P}_{2}: qual é a diferença de percurso e qual o tipo de interferência em \mathrm{P}_{2}?\n
Observação: o enunciado não dá nenhuma informação geométrica explícita sobre a posição de \mathrm{P}_{2} (por exemplo coordenadas, ângulo ou figura). Vou resolver (a) completamente e, para (b), explico o que falta e como proceder se a posição de \mathrm{P}_{2} for informada.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática passo a passo).\n
Definição de diferença de percurso: se r_{1} é a distância de \mathrm{S}_{1} até um ponto P e r_{2} é a distância de \mathrm{S}_{2} até o mesmo ponto P, a diferença de percurso é
\Delta = r_{2}-r_{1}.
Explicação: escolhemos a ordem r_{2}-r_{1} apenas para ter um sinal; fisicamente só interessa o valor absoluto |\Delta| para determinar o tipo de interferência (mas o sinal indica qual onda viaja mais).\n
Relação entre diferença de percurso e diferença de fase: uma diferença de percurso \Delta corresponde a uma diferença de fase \varphi dada por
\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta.
Aqui \lambda é o comprimento de onda; \varphi mede quantos radianos uma onda está adiantada/atrasada em relação à outra.\n
Condições de interferência (fontes com mesma fase e mesma amplitude):\n
  • Interferência construtiva (máximo): ocorre quando a diferença de percurso é um múltiplo inteiro de \lambda, isto é
\Delta = m\lambda,\quad m\in\mathbb{Z}.
Particularmente \Delta=0 (que é m=0) dá máxima construtiva: as ondas chegam em fase.\n
  • Interferência destrutiva (mínimo): ocorre quando a diferença de percurso é um número meio inteiro de \lambda, isto é
\Delta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,\quad m\in\mathbb{Z},
pois então as ondas chegam defasadas de \pi radianos (meia onda) e se cancelam (para amplitudes iguais).

Passo 3

Aplicando os conceitos ao ponto \mathrm{P}_{1}.\n
Dado: \mathrm{P}_{1} está na mediatriz do segmento que une \mathrm{S}_{1} e \mathrm{S}_{2}. Isso significa geometricamente que \mathrm{P}_{1} está equidistante de \mathrm{S}_{1} e \mathrm{S}_{2}. Portanto
r_{1}=r_{2}.
Logo a diferença de percurso é
\Delta = r_{2}-r_{1}=0.

Passo 4

Interpretação da diferença de percurso \Delta=0.\n
Usando a condição de interferência construtiva, \Delta=0 é um caso com m=0 de \Delta=m\lambda. Assim as ondas chegam exatamente em fase em \mathrm{P}_{1}. A diferença de fase é
\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta=\frac{2\pi}{\lambda}\cdot 0 = 0,
ou seja, sem defasagem; somatório das amplitudes resulta em máxima intensidade (interferência construtiva total para amplitudes iguais).

Passo 5

Comentário sobre a condição "distância das fontes maior que D" mencionada no enunciado para \mathrm{P}_{1}.\n
A restrição de que a distância das fontes até \mathrm{P}_{1} é maior que D (ou seja, r_{1}=r_{2}>D) evita situações degenerate muito próximas das fontes onde efeitos de campo próximo poderiam complicar, mas não altera o resultado lógico: por estar na mediatriz temos \Delta=0 independentemente de quão grande seja essa distância (desde que as distâncias sejam iguais). Portanto o tipo de interferência continua sendo construtiva.

Passo 6

Sobre o ponto \mathrm{P}_{2}: por que não posso dar um número sem mais informação?\n
A diferença de percurso em \mathrm{P}_{2} é \Delta=r_{2}-r_{1}. Para calcular \Delta precisamos saber as distâncias r_{1} e r_{2} (ou a posição de \mathrm{P}_{2} em relação às fontes, por exemplo coordenadas ou ângulo e distância). O enunciado que você me passou não especifica onde \mathrm{P}_{2} está localizado (não há figura nem descrição). Portanto não há informação suficiente para calcular \Delta nem para afirmar se a interferência é construtiva ou destrutiva em \mathrm{P}_{2}.\n
Como eu ainda quero te ensinar como proceder na prova, explico em seguida o procedimento geral para qualquer \mathrm{P}_{2} quando a posição for dada.

Passo 7

Procedimento prático que você deve aplicar na prova quando a posição de \mathrm{P}_{2} for conhecida (receita passo a passo).\n
  1. Determine geometricamente r_{1} e r_{2}: são as distâncias de \mathrm{P}_{2} até \mathrm{S}_{1} e \mathrm{S}_{2} respectivamente. Se as fontes estiverem em x-axis em (-\tfrac{D}{2},0) e (+\tfrac{D}{2},0) e \mathrm{P}_{2} em (x,y), então
r_{1}=\sqrt{\left(x+\tfrac{D}{2}\right)^{2}+y^{2}},\qquad r_{2}=\sqrt{\left(x-\tfrac{D}{2}\right)^{2}+y^{2}}.
  1. Calcule a diferença de percurso
\Delta=r_{2}-r_{1}.
  1. Compare \Delta com múltiplos de \lambda: se \Delta=m\lambda com m\in\mathbb{Z} então é interferência construtiva; se \Delta=(m+\tfrac{1}{2})\lambda então é destrutiva; caso contrário será uma interferência parcial (nem máxima nem mínima).\n
    Exemplo rápido (aplicando a receita): se \mathrm{P}_{2} estivesse localizada exatamente sobre a reta que passa pelas fontes, no lado de \mathrm{S}_{2} e a uma distância tal que r_{1}-r_{2}= \lambda, então \Delta=-\lambda (módulo |\Delta|=\lambda) e teríamos construtiva porque |\Delta|=\lambda=1\lambda.

Resposta

(a) \Delta=0. Interferência construtiva (máxima).\n
(b) Não é possível determinar \Delta nem o tipo de interferência em \mathrm{P}_{2} com a informação dada, porque a posição de \mathrm{P}_{2} não foi especificada. Se você me mandar a posição (coordenadas ou desenho), eu calculo passo a passo usando r_{1},r_{2} e \Delta=r_{2}-r_{1}.

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