[2,5 pontos ] Em uma figura de interferência de dupla fenda, se existem 21 franjas claras na envoltória central de difração e os mínimos de difração coincidem com os máximos de interferência.
a. [1,0] qual é a razão entre a separação das fendas e a largura das fendas?
b. [0,5] quais são as ordens dos máximos de interferência que existem em um dos picos laterais de primeira ordem da envoltória de difração?
c. [1,0] qual a razão de intensidade entre o máximo central e quinto pico de interferência?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
Informação 1: Na figura de interferência de dupla fenda há 21 franjas claras dentro da envoltória central de difração (ou seja, dentro do máximo central de difração).
Informação 2: Os mínimos de difração coincidem com os máximos de interferência.
Pergunta (a): Qual é a razão entre a separação das fendas e a largura das fendas? Ou seja, pedir d/a onde d é a separação entre fendas e a é a largura de cada fenda.
Pergunta (b): Quais são as ordens dos máximos de interferência que existem em um dos picos laterais de primeira ordem da envoltória de difração?
Pergunta (c): Qual é a razão de intensidade entre o máximo central e o quinto pico de interferência? Ou seja, pedir I_0/I_5 (intensidade do máximo central dividida pela intensidade do máximo de ordem n=5).
Já está tudo identificado; agora vamos estudar as fórmulas e resolver passo a passo.
Passo 2
Relembre as fórmulas básicas (vou explicar o que cada símbolo significa):
Condição de máximos de interferência (duas fendas, mensurando ordem n):
d\sin\theta = n\lambda,
onde d é a separação entre as fendas, \theta é o ângulo de direção do máximo, \lambda é o comprimento de onda da luz e n é um inteiro (ordem do máximo): n=0,\pm1,\pm2,\dots.
Condição de mínimos da difração de uma fenda (mínimos da envoltória single-slit, índice m):
a\sin\theta = m\lambda,
onde a é a largura da fenda e m é um inteiro não nulo: m=\pm1,\pm2,\dots.
Explicação física rápida e intuitiva: a interferência entre as duas fendas gera muitas franjas (máximos e mínimos) com passo angular dado por d\sin\theta = n\lambda. Ao mesmo tempo, cada fenda tem seu padrão de difração (a “envelope” ou envoltória) com mínimos dados por a\sin\theta = m\lambda. O padrão observado é a multiplicação do envelope de difração pela oscilação de interferência.
Passo 3
Interpretação da condição “mínimos de difração coincidem com máximos de interferência”:
Quando diz que os mínimos de difração coincidem com os máximos de interferência, significa que para algum m e algum n a mesma direção \theta satisfaz simultaneamente
Eliminando \sin\theta dessas duas equações, obtemos
\frac{d}{a} = \frac{n}{m}.
Isso diz que a razão d/a é uma razão de inteiros n/m. Em particular, para o primeiro mínimo de difração usamos m=1 (o mínimo imediatamente ao lado do máximo central) — é ele que define a borda do máximo central de difração. Fazemos isso porque a “envoltória central de difração” é o intervalo entre m=-1 e m=+1; portanto o mínimo relevante é m=1.
Com m=1 a coincidência do primeiro mínimo com algum máximo de interferência implica
\frac{d}{a} = n \quad\text{(um número inteiro)}.
Passo 4
Relação entre o número de franjas dentro do máximo central e d/a:
Um máximo de interferência de ordem n' aparece dentro do máximo central de difração se sua direção satisfaz |\sin\theta| < \lambda/a (porque o máximo central existe entre os mínimos m=\pm1, que têm |\sin\theta| = \lambda/a).
Para um máximo de interferência de ordem n' temos \sin\theta = n'\lambda/d. Portanto a condição para estar dentro do máximo central é
(Esse já responde a letra (a) logicamente; vou continuar e responder (b) e (c) com as contas detalhadas.)
Passo 6
Letra (b): quais ordens de interferência existem num dos picos laterais de primeira ordem da envoltória de difração?
O “pico lateral de primeira ordem da envoltória de difração” é o primeiro lóbul o brilhante fora do máximo central, ou seja, a região angular entre os mínimos de difração m=1 e m=2. Em termos de \sin\theta isso é
n' = 12,\;13,\;14,\;15,\;16,\;17,\;18,\;19,\;20,\;21.
Como a pergunta pede “em um dos picos laterais” assumimos um lado (por exemplo o lado positivo), então os 10 máximos de interferência de ordens listadas acima estão dentro desse primeiro pico lateral.
Passo 7
Letra (c): razão de intensidade entre o máximo central e o quinto pico de interferência (I_0/I_5) — ensinando a fórmula passo a passo
Para duas fendas com largura finita a cada, a intensidade observada numa direção \theta é o produto da envoltória de difração por uma oscilação de interferência:
Em cada máximo de interferência, a parte \cos^2(\cdot) vale 1 porque para máximos d\sin\theta=n\lambda o argumento é \pi n e \cos(\pi n)=\pm1 (ao quadrado dá 1). Assim, a intensidade do máximo de ordem n é proporcional apenas ao fator da fenda única: