[2,5 pontos ] Em uma figura de interferência de dupla fenda, se existem 21 franjas claras na envoltória central de difração e os mínimos de difração coincidem com os máximos de interferência.
a. [1,0] qual é a razão entre a separação das fendas e a largura das fendas?
b. [0,5] quais são as ordens dos máximos de interferência que existem em um dos picos laterais de primeira ordem da envoltória de difração?
c. [1,0] qual a razão de intensidade entre o máximo central e quinto pico de interferência?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
  • Informação 1: Na figura de interferência de dupla fenda há 21 franjas claras dentro da envoltória central de difração (ou seja, dentro do máximo central de difração).
  • Informação 2: Os mínimos de difração coincidem com os máximos de interferência.
  • Pergunta (a): Qual é a razão entre a separação das fendas e a largura das fendas? Ou seja, pedir d/a onde d é a separação entre fendas e a é a largura de cada fenda.
  • Pergunta (b): Quais são as ordens dos máximos de interferência que existem em um dos picos laterais de primeira ordem da envoltória de difração?
  • Pergunta (c): Qual é a razão de intensidade entre o máximo central e o quinto pico de interferência? Ou seja, pedir I_0/I_5 (intensidade do máximo central dividida pela intensidade do máximo de ordem n=5).
Já está tudo identificado; agora vamos estudar as fórmulas e resolver passo a passo.

Passo 2

Relembre as fórmulas básicas (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • Condição de máximos de interferência (duas fendas, mensurando ordem n):
d\sin\theta = n\lambda,
onde d é a separação entre as fendas, \theta é o ângulo de direção do máximo, \lambda é o comprimento de onda da luz e n é um inteiro (ordem do máximo): n=0,\pm1,\pm2,\dots.
  • Condição de mínimos da difração de uma fenda (mínimos da envoltória single-slit, índice m):
a\sin\theta = m\lambda,
onde a é a largura da fenda e m é um inteiro não nulo: m=\pm1,\pm2,\dots.
Explicação física rápida e intuitiva: a interferência entre as duas fendas gera muitas franjas (máximos e mínimos) com passo angular dado por d\sin\theta = n\lambda. Ao mesmo tempo, cada fenda tem seu padrão de difração (a “envelope” ou envoltória) com mínimos dados por a\sin\theta = m\lambda. O padrão observado é a multiplicação do envelope de difração pela oscilação de interferência.

Passo 3

Interpretação da condição “mínimos de difração coincidem com máximos de interferência”:
  • Quando diz que os mínimos de difração coincidem com os máximos de interferência, significa que para algum m e algum n a mesma direção \theta satisfaz simultaneamente
a\sin\theta = m\lambda\quad\text{e}\quad d\sin\theta = n\lambda.
  • Eliminando \sin\theta dessas duas equações, obtemos
\frac{d}{a} = \frac{n}{m}.
Isso diz que a razão d/a é uma razão de inteiros n/m. Em particular, para o primeiro mínimo de difração usamos m=1 (o mínimo imediatamente ao lado do máximo central) — é ele que define a borda do máximo central de difração. Fazemos isso porque a “envoltória central de difração” é o intervalo entre m=-1 e m=+1; portanto o mínimo relevante é m=1.
  • Com m=1 a coincidência do primeiro mínimo com algum máximo de interferência implica
\frac{d}{a} = n \quad\text{(um número inteiro)}.ú

Passo 4

Relação entre o número de franjas dentro do máximo central e d/a:
  • Um máximo de interferência de ordem n' aparece dentro do máximo central de difração se sua direção satisfaz |\sin\theta| < \lambda/a (porque o máximo central existe entre os mínimos m=\pm1, que têm |\sin\theta| = \lambda/a).
  • Para um máximo de interferência de ordem n' temos \sin\theta = n'\lambda/d. Portanto a condição para estar dentro do máximo central é
\left|\frac{n'\lambda}{d}\right| < \frac{\lambda}{a} \quad\Longrightarrow\quad |n'| < \frac{d}{a}.
  • Se d/a é um inteiro (como vimos no passo anterior, d/a=n), então os possíveis valores inteiros de n' que satisfazem |n'|<d/a são
n' = -(n-1),\;-(n-2),\;\dots,-1,0,1,\dots,(n-2),(n-1).
Isso dá um total de 2(n-1)+1 = 2n-1 franjas claras dentro do máximo central (contando o central n'=0).

Passo 5

Aplicar ao dado numérico (21 franjas na envoltória central):
  • O enunciado diz que existem 21 franjas claras no máximo central. Usando a fórmula 2n-1 = 21 (onde n=d/a inteiro), resolvemos:
2n-1 = 21 \quad\Longrightarrow\quad 2n = 22 \quad\Longrightarrow\quad n = 11.
  • Portanto
\frac{d}{a} = 11.
(Esse já responde a letra (a) logicamente; vou continuar e responder (b) e (c) com as contas detalhadas.)

Passo 6

Letra (b): quais ordens de interferência existem num dos picos laterais de primeira ordem da envoltória de difração?
  • O “pico lateral de primeira ordem da envoltória de difração” é o primeiro lóbul o brilhante fora do máximo central, ou seja, a região angular entre os mínimos de difração m=1 e m=2. Em termos de \sin\theta isso é
\frac{\lambda}{a} < |\sin\theta| < \frac{2\lambda}{a}.
  • Um máximo de interferência de ordem n' tem \sin\theta = n'\lambda/d. Substituindo na desigualdade acima:
\frac{\lambda}{a} < \frac{n'\lambda}{d} < \frac{2\lambda}{a} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{a} < n' < 2\frac{d}{a}.
  • Já sabemos \frac{d}{a}=11. Então
11 < n' < 22.
  • Os inteiros n' que satisfazem isso são
n' = 12,\;13,\;14,\;15,\;16,\;17,\;18,\;19,\;20,\;21.
  • Como a pergunta pede “em um dos picos laterais” assumimos um lado (por exemplo o lado positivo), então os 10 máximos de interferência de ordens listadas acima estão dentro desse primeiro pico lateral.

Passo 7

Letra (c): razão de intensidade entre o máximo central e o quinto pico de interferência ( I_0/I_5) — ensinando a fórmula passo a passo
  • Para duas fendas com largura finita a cada, a intensidade observada numa direção \theta é o produto da envoltória de difração por uma oscilação de interferência:
I(\theta) = I_{\text{single}}(\theta)\cdot \cos^2\!\bigg(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\bigg).
Aqui I_{\text{single}}(\theta) é o padrão de intensidade da fenda única. Para a fenda única temos a fórmula (a versão conhecida):
I_{\text{single}}(\theta)=I_{\text{single, max}}\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2,
onde
\beta \equiv \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.
  • Em cada máximo de interferência, a parte \cos^2(\cdot) vale 1 porque para máximos d\sin\theta=n\lambda o argumento é \pi n e \cos(\pi n)=\pm1 (ao quadrado dá 1). Assim, a intensidade do máximo de ordem n é proporcional apenas ao fator da fenda única:
I_n = I_{\text{single, max}}\left(\frac{\sin\beta_n}{\beta_n}\right)^2,
com
\beta_n = \frac{\pi a\sin\theta_n}{\lambda} = \frac{\pi a}{\lambda}\cdot\frac{n\lambda}{d} = \pi n\frac{a}{d}.
  • Usando \dfrac{d}{a}=11 obtemos
\beta_n = \pi n\frac{1}{11} = \frac{\pi n}{11}.
  • A intensidade do máximo central ( n=0) tem \beta_0=0 e I_0 = I_{\text{single, max}} (pois (\sin\beta/\beta)^2\to1 quando \beta\to0).
  • Logo a razão pedida é
\frac{I_0}{I_5} = \frac{I_{\text{single, max}}}{I_{\text{single, max}}\left(\dfrac{\sin\beta_5}{\beta_5}\right)^2} = \left(\frac{\beta_5}{\sin\beta_5}\right)^2,
com
\beta_5 = \frac{5\pi}{11}.
  • Podemos deixar a resposta em forma exata e também dar valor numérico aproximado:
\frac{I_0}{I_5} = \left(\frac{5\pi/11}{\sin(5\pi/11)}\right)^2.
Agora o valor numérico: 5\pi/11 \approx 1{,}4289067 rad e \sin(5\pi/11)\approx 0{,}9898. Assim
\frac{I_0}{I_5}\approx \left(\frac{1{,}4289067}{0{,}9898}\right)^2 \approx 2{,}09.

Resposta

(a) \dfrac{d}{a}=11
(b) n=12,\;13,\;14,\;15,\;16,\;17,\;18,\;19,\;20,\;21
(c) \displaystyle \frac{I_0}{I_5}=\left(\frac{5\pi/11}{\sin(5\pi/11)}\right)^2\approx 2{,}09

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