Uma massa pesando 24 libras, presa a uma das extremidades de uma mola, distende-a em 4 polegadas. Inicialmente, a massa é solta do repouso de um ponto de 3 polegadas acima da posição de equilíbrio. Ache a equação do movimento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação do movimento:
  • Uma massa pesa \,24 libras.
  • A massa presa à mola distende a mola \,4 polegadas quando em equilíbrio (isso fornece a constante elástica da mola).
  • A massa é solta do repouso de um ponto \,3 polegadas acima da posição de equilíbrio (isso fornece as condições iniciais).
Pergunta: determinar a equação horária da posição \,x(t) da massa (posição medida a partir da posição de equilíbrio) para t\ge0.

Passo 2

Escolhas e conversões de unidades (muito importante para não se enrolar na hora da prova):
  • Vou medir \,x(t) em polegadas e o tempo t em segundos.
  • A aceleração da gravidade em polegadas por segundo ao quadrado é \,g=32\\ \text{ft/s}^2=384\\ \text{in/s}^2 (pois 1\\ \text{ft}=12\\ \text{in}).
  • A massa (no sentido de massa inercial) é dada por \,m=\dfrac{\text{peso}}{g}. Portanto
m=\frac{24}{384}=\frac{1}{16}.
Aqui \,m tem unidades compatíveis com o uso de polegadas e segundos (é \,1/16 na unidade lb·s²/in).
  • A constante elástica \,k da mola vem de Hooke: peso = k \times extensão. A extensão em equilíbrio é \,4 polegadas, logo
k=\frac{24}{4}=6.
Aqui \,k está em unidades lb/in.
Resumo dos dados numéricos (em unidades polegadas e segundos):
m=\frac{1}{16},\qquad k=6.

Passo 3

Montagem da equação diferencial do movimento:
  • Para uma mola sem amortecimento e sem força externa, a equação é
m\,x''(t)+k\,x(t)=0,
onde \,x(t) é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (positiva para baixo, por convenção) e \,x''(t) é a segunda derivada temporal (aceleração).
  • Substituindo m e k:
\frac{1}{16}x''(t)+6x(t)=0.
Multiplicando por 16:
x''(t)+96\,x(t)=0.

Passo 4

Resolver a equação diferencial (aula rápida sobre método):
  • É uma equação linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. A equação característica é
r^2+96=0.
  • As raízes são complexas:
r=\pm i\sqrt{96}=\pm i\,4\sqrt{6}.
  • Para raízes \pm i\omega a solução geral é
x(t)=C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t),
onde aqui \omega=\sqrt{96}=4\sqrt{6}.
Portanto a solução geral é
x(t)=C_1\cos\bigl(4\sqrt{6}\,t\bigr)+C_2\sin\bigl(4\sqrt{6}\,t\bigr).

Passo 5

Aplicar as condições iniciais (explicando o sinal com cuidado):
  • O enunciado diz que a massa é solta do repouso de um ponto \,3 polegadas acima da posição de equilíbrio. Como escolhemos x positivo para baixo, essa posição inicial é
x(0)=-3.
  • “Solta do repouso” significa velocidade inicial nula:
x'(0)=0.
Agora calcule os constantes C_1 e C_2:
  • Avaliando x(0):
x(0)=C_1\cos 0 + C_2\sin 0 = C_1 = -3,
logo C_1=-3.
  • A derivada é
x'(t)=-C_1\cdot 4\sqrt{6}\,\sin(4\sqrt{6}\,t)+C_2\cdot 4\sqrt{6}\,\cos(4\sqrt{6}\,t).
Assim
x'(0)=C_2\cdot 4\sqrt{6}=0\quad\Rightarrow\quad C_2=0.

Passo 6

Escrever a solução final e interpretar (pequena motivação):
  • Substituindo C_1 e C_2 obtém-se
x(t)=-3\cos\bigl(4\sqrt{6}\,t\bigr).
Isso significa que a massa realiza movimento harmônico simples de amplitude \,3 polegadas e frequência angular \,\omega=4\sqrt{6}. O período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{4\sqrt{6}}=\frac{\pi}{2\sqrt{6}}\\ \text{segundos}.
Vai dar certo na prova — lembra: monte sempre a equação m x''+k x=0, encontre \omega=\sqrt{k/m}, imponha condições iniciais. Você já pegou o caminho!

Resposta

x(t)=-3\cos\bigl(4\sqrt{6}\,t\bigr)

Exercícios relacionados