Uma massa pesando 24 libras, presa a uma das extremidades de uma mola, distende-a em 4 polegadas. Inicialmente, a massa é solta do repouso de um ponto de 3 polegadas acima da posição de equilíbrio. Ache a equação do movimento.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação do movimento:
- Uma massa pesa
libras. - A massa presa à mola distende a mola
polegadas quando em equilíbrio (isso fornece a constante elástica da mola). - A massa é solta do repouso de um ponto
polegadas acima da posição de equilíbrio (isso fornece as condições iniciais).
Pergunta: determinar a equação horária da posição
da massa (posição medida a partir da posição de equilíbrio) para
.
Passo 2
Escolhas e conversões de unidades (muito importante para não se enrolar na hora da prova):
- Vou medir
em polegadas e o tempo em segundos. - A aceleração da gravidade em polegadas por segundo ao quadrado é
(pois ). - A massa (no sentido de massa inercial) é dada por
. Portanto
Aqui
tem unidades compatíveis com o uso de polegadas e segundos (é
na unidade lb·s²/in).
- A constante elástica
da mola vem de Hooke: peso extensão. A extensão em equilíbrio é polegadas, logo
Aqui
está em unidades lb/in.
Resumo dos dados numéricos (em unidades polegadas e segundos):
Passo 3
Montagem da equação diferencial do movimento:
- Para uma mola sem amortecimento e sem força externa, a equação é
onde
é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (positiva para baixo, por convenção) e
é a segunda derivada temporal (aceleração).
- Substituindo
e :
Multiplicando por
:
Passo 4
Resolver a equação diferencial (aula rápida sobre método):
- É uma equação linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. A equação característica é
- As raízes são complexas:
- Para raízes
a solução geral é
onde aqui
.
Portanto a solução geral é
Passo 5
Aplicar as condições iniciais (explicando o sinal com cuidado):
- O enunciado diz que a massa é solta do repouso de um ponto
polegadas acima da posição de equilíbrio. Como escolhemos positivo para baixo, essa posição inicial é
- “Solta do repouso” significa velocidade inicial nula:
Agora calcule os constantes
e
:
- Avaliando
:
logo
.
- A derivada é
Assim
Passo 6
Escrever a solução final e interpretar (pequena motivação):
- Substituindo
e obtém-se
Isso significa que a massa realiza movimento harmônico simples de amplitude
polegadas e frequência angular
. O período é
Vai dar certo na prova — lembra: monte sempre a equação
, encontre
, imponha condições iniciais. Você já pegou o caminho!