Racionalize os denominadores das seguintes frações:
\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}+\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}.

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar os denominadores e calcular a soma
\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}+\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}.
Informações dadas: os termos envolvem \sqrt{5} e denominadores que são conjugados entre si ( \sqrt{5}-2 e \sqrt{5}+2). A tarefa final é obter um número sem raízes nos denominadores e apresentar o valor da soma.

Passo 2

Estratégia escolhida (método simples e rápido): usar uma manipulação algébrica que evita racionalizar cada fração separadamente. Se eu chamar
a=\sqrt{5}+2,\qquad b=\sqrt{5}-2,
então a expressão é \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}. Há uma identidade útil:
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}.
Vou aplicar essa identidade porque transforma a soma em uma única fração cujo denominador costuma ficar racional quando a e b são conjugados.

Passo 3

Calcular ab. Seja s=\sqrt{5} para facilitar a escrita, então a=s+2 e b=s-2. Usando a diferença de quadrados:
ab=(s+2)(s-2)=s^2-2^2.
Como s^2=(\sqrt{5})^2=5, temos
ab=5-4=1.
Observação didática: a diferença de quadrados é a fórmula (x+y)(x-y)=x^2-y^2. Aqui isso tornou o produto dos conjugados um número inteiro.

Passo 4

Calcular a^2 e b^2 separadamente. Primeiro a^2:
a^2=(s+2)^2=s^2+4s+4.
Substituindo s^2=5
a^2=5+4s+4=9+4\sqrt{5}.
Agora b^2:
b^2=(s-2)^2=s^2-4s+4=5-4s+4=9-4\sqrt{5}.
Explicação: ao desenvolver (x\pm y)^2 usamos (x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2.

Passo 5

Somar a^2+b^2:
a^2+b^2=(9+4\sqrt{5})+(9-4\sqrt{5})=18.
Os termos com \sqrt{5} se cancelam, sobrando apenas 18.

Passo 6

Agora usar a identidade do Passo 2:
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{18}{1}=18.
Portanto a soma vale 18. Observe que esse processo “racionalizou” implicitamente os denominadores porque o produto ab saiu inteiro.

Passo 7

Verificação (método alternativo — racionalizando cada fração): multiplicando numerador e denominador da primeira fração por \sqrt{5}+2 obtém-se
\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\cdot\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{(\sqrt{5}+2)^2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\frac{9+4\sqrt{5}}{1}=9+4\sqrt{5}.
Analogamente, a segunda fração racionalizada é 9-4\sqrt{5}. Somando ambas dá 18, mesma resposta — ótimo sinal de consistência.

Resposta

18

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