Racionalize os denominadores das seguintes frações:
.
Passo 1
O enunciado pede para racionalizar os denominadores e calcular a soma
Informações dadas: os termos envolvem
e denominadores que são conjugados entre si (
e
). A tarefa final é obter um número sem raízes nos denominadores e apresentar o valor da soma.
Passo 2
Estratégia escolhida (método simples e rápido): usar uma manipulação algébrica que evita racionalizar cada fração separadamente. Se eu chamar
então a expressão é
. Há uma identidade útil:
Vou aplicar essa identidade porque transforma a soma em uma única fração cujo denominador costuma ficar racional quando
e
são conjugados.
Passo 3
Calcular
. Seja
para facilitar a escrita, então
e
. Usando a diferença de quadrados:
Como
, temos
Observação didática: a diferença de quadrados é a fórmula
. Aqui isso tornou o produto dos conjugados um número inteiro.
Passo 4
Calcular
e
separadamente. Primeiro
:
Substituindo
dá
Agora
:
Explicação: ao desenvolver
usamos
.
Passo 5
Somar
:
Os termos com
se cancelam, sobrando apenas
.
Passo 6
Agora usar a identidade do Passo 2:
Portanto a soma vale
. Observe que esse processo “racionalizou” implicitamente os denominadores porque o produto
saiu inteiro.
Passo 7
Verificação (método alternativo — racionalizando cada fração): multiplicando numerador e denominador da primeira fração por
obtém-se
Analogamente, a segunda fração racionalizada é
. Somando ambas dá
, mesma resposta — ótimo sinal de consistência.