Racionalize os denominadores das seguintes frações:
\frac{2 \sqrt[4]{3^{2}}}{\sqrt[4]{3^{2}}+\sqrt{7}};

Passo 1

O enunciado pede que eu racionalize o denominador da fração
\frac{2 \sqrt[4]{3^{2}}}{\sqrt[4]{3^{2}}+\sqrt{7}}.
Informações dadas:
\text{numerador }=2 \sqrt[4]{3^{2}}, \qquad \text{denominador }=\sqrt[4]{3^{2}}+\sqrt{7}.
Objetivo: escrever a fração equivalente com um denominador que não contenha radicais.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão \sqrt[4]{3^{2}}. Uso a propriedade de potências e raízes:
\sqrt[4]{3^{2}} = 3^{2/4} = 3^{1/2} = \sqrt{3}.
Explicando devagar: \sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}. Aqui m=2 e n=4, então 2/4=1/2, que é a raiz quadrada.

Passo 3

Substituindo a simplificação na fração, fica
\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}.
Para eliminar radicais do denominador do tipo \sqrt{3}+\sqrt{7} usamos o conjugado \sqrt{3}-\sqrt{7}. Isso porque
(\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{3}-\sqrt{7})=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{7})^{2}=3-7,
e aí o denominador vira um número racional. A ideia é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado sem alterar o valor da fração.

Passo 4

Multiplico numerador e denominador por \sqrt{3}-\sqrt{7}:
\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{\sqrt{3}-\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{3}\,(\sqrt{3}-\sqrt{7})}{(\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{3}-\sqrt{7})}.
No denominador uso a diferença de quadrados já calculada:
(\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{3}-\sqrt{7})=3-7=-4.

Passo 5

Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
2\sqrt{3}\,(\sqrt{3}-\sqrt{7}) = 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}.
Calculo cada termo:
2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=2\cdot 3=6, \qquad 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}=2\sqrt{21}.
Portanto o numerador fica 6-2\sqrt{21}. A fração é
\frac{6-2\sqrt{21}}{-4}.

Passo 6

Simplifico a fração \dfrac{6-2\sqrt{21}}{-4}. Primeiro divido numerador e denominador por 2:
\frac{6-2\sqrt{21}}{-4}=\frac{2(3-\sqrt{21})}{-4}=\frac{3-\sqrt{21}}{-2}.
Multiplicando por -1/-1 (ou passando o sinal) obtemos
\frac{3-\sqrt{21}}{-2}=\frac{\sqrt{21}-3}{2}.
Essa forma é mais agradável porque não tem sinal negativo fora da fração e o denominador é positivo.

Passo 7

Verifico rapidamente que não perdi nada: multiplico o resultado \dfrac{\sqrt{21}-3}{2} pelo denominador original \sqrt{3}+\sqrt{7} e recupero o numerador original 2\sqrt{3}. A verificação dá certo (cálculo omitido aqui por brevidade, mas você pode testar seguindo os mesmos passos de multiplicação e redução de radicais).

Resposta

\dfrac{\sqrt{21}-3}{2}

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