Racionalize os denominadores das seguintes frações:
;
Passo 1
O enunciado pede que eu racionalize o denominador da fração
Informações dadas:
Objetivo: escrever a fração equivalente com um denominador que não contenha radicais.
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão
. Uso a propriedade de potências e raízes:
Explicando devagar:
. Aqui
e
, então
, que é a raiz quadrada.
Passo 3
Substituindo a simplificação na fração, fica
Para eliminar radicais do denominador do tipo
usamos o conjugado
. Isso porque
e aí o denominador vira um número racional. A ideia é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado sem alterar o valor da fração.
Passo 4
Multiplico numerador e denominador por
:
No denominador uso a diferença de quadrados já calculada:
Passo 5
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
Calculo cada termo:
Portanto o numerador fica
. A fração é
Passo 6
Simplifico a fração
. Primeiro divido numerador e denominador por
:
Multiplicando por
(ou passando o sinal) obtemos
Essa forma é mais agradável porque não tem sinal negativo fora da fração e o denominador é positivo.
Passo 7
Verifico rapidamente que não perdi nada: multiplico o resultado
pelo denominador original
e recupero o numerador original
. A verificação dá certo (cálculo omitido aqui por brevidade, mas você pode testar seguindo os mesmos passos de multiplicação e redução de radicais).