Uma massa pesando 32 libras distende uma mola em 2 pés. Determine a amplitude e o período do movimento supondo que a massa seja inicialmente solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade inicial, para cima, de 2 pés/s. Quantas ciclos completos a massa terá concluído ao fim de 4 \pi segundos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
  • Uma massa pesa 32 libras e distende a mola 2 pés (dado da mola).
  • A massa é solta a partir de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio (deslocamento inicial).
  • A velocidade inicial é, para cima, 2 pés/s (velocidade inicial).
  • Perguntas: determinar a amplitude e o período do movimento; e quantos ciclos completos a massa terá concluído ao fim de 4\pi segundos.
Informações relevantes que vamos usar: peso, deslocamento estático da mola, condição inicial de posição e velocidade, e intervalo de tempo 4\pi s.

Passo 2

Primeiro precisamos converter o peso em massa porque a equação do movimento usa massa. Em unidades inglesas usamos a relação
W = m g,
onde W é o peso em libras, m é a massa (em slugs) e g é a aceleração da gravidade (em pés/s ^2). Aqui vamos usar g=32 ft/s ^2. Substituindo,
m = \frac{W}{g} = \frac{32}{32} = 1.
Portanto a massa é m=1 slug. (Se isso parecer estranho: “slug” é a unidade de massa que combina com libras e pés/s ^2.)

Passo 3

A constante elástica k da mola vem da Lei de Hooke aplicada ao equilíbrio estático: o peso W é equilibrado pela força da mola k\Delta x, logo
W = k\Delta x.
Dos dados temos W=32 e \Delta x=2 pés, então
k = \frac{W}{\Delta x} = \frac{32}{2} = 16.
A unidade de k é libras por pé, mas aqui só precisamos do valor numérico k=16.

Passo 4

A equação diferencial que descreve o movimento vertical (sem amortecimento) é
m x'' + k x = 0,
onde x(t) é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio, m é a massa e k a constante da mola. Substituindo m=1 e k=16,
x'' + 16 x = 0.
Isto é uma equação harmônica simples com frequência angular \omega tal que \omega^2 = 16. Então
\omega = 4 \quad\text{(rad/s)}.

Passo 5

A solução geral da equação x'' + \omega^2 x = 0 é
x(t) = C\cos(\omega t) + D\sin(\omega t),
onde C e D são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui \omega=4, então
x(t) = C\cos(4t) + D\sin(4t).

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais. Tomamos para cima como sentido positivo; então o deslocamento inicial 1 pé acima do equilíbrio dá
x(0) = C = 1.
A velocidade é a derivada:
x'(t) = -4C\sin(4t) + 4D\cos(4t).
Em t=0:
x'(0) = 4D = 2 \quad\Rightarrow\quad D = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Com C=1 e D=\tfrac{1}{2} a solução particular é
x(t) = \cos(4t) + \tfrac{1}{2}\sin(4t).
A amplitude A de um movimento desse tipo (combinação de cosseno e seno) é dada por
A = \sqrt{C^2 + D^2}.
Isto vem de escrever C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t) como A\cos(\omega t-\varphi). Calculando
A = \sqrt{1^2 + \left(\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \tfrac{1}{4}} = \sqrt{\tfrac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.
A unidade é pés, logo a amplitude é \dfrac{\sqrt{5}}{2} pés (aprox. 1{,}118 pés).

Passo 8

O período T é o tempo de um ciclo completo e está relacionado com \omega por
T = \frac{2\pi}{\omega}.
Como \omega=4,
T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\\ \text{segundos}.

Passo 9

O número de ciclos completos em um tempo t_{\text{total}} é N = t_{\text{total}}/T. Para t_{\text{total}}=4\pi s e T=\pi/2,
N = \frac{4\pi}{\pi/2} = 4\pi \cdot \frac{2}{\pi} = 8.
Ou seja, a massa completará 8 ciclos inteiros em 4\pi segundos.

Resposta

Amplitude: \dfrac{\sqrt{5}}{2} pés
Período: \dfrac{\pi}{2} segundos
Ciclos completos em 4\pi s: 8

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