Uma massa pesando 32 libras distende uma mola em 2 pés. Determine a amplitude e o período do movimento supondo que a massa seja inicialmente solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade inicial, para cima, de 2 pés/s. Quantas ciclos completos a massa terá concluído ao fim de
segundos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
- Uma massa pesa
libras e distende a mola pés (dado da mola). - A massa é solta a partir de um ponto
pé acima da posição de equilíbrio (deslocamento inicial). - A velocidade inicial é, para cima,
pés/s (velocidade inicial). - Perguntas: determinar a amplitude e o período do movimento; e quantos ciclos completos a massa terá concluído ao fim de
segundos.
Informações relevantes que vamos usar: peso, deslocamento estático da mola, condição inicial de posição e velocidade, e intervalo de tempo
s.
Passo 2
Primeiro precisamos converter o peso em massa porque a equação do movimento usa massa. Em unidades inglesas usamos a relação
onde
é o peso em libras,
é a massa (em slugs) e
é a aceleração da gravidade (em pés/s
). Aqui vamos usar
ft/s
. Substituindo,
Portanto a massa é
slug. (Se isso parecer estranho: “slug” é a unidade de massa que combina com libras e pés/s
.)
Passo 3
A constante elástica
da mola vem da Lei de Hooke aplicada ao equilíbrio estático: o peso
é equilibrado pela força da mola
, logo
Dos dados temos
e
pés, então
A unidade de
é libras por pé, mas aqui só precisamos do valor numérico
.
Passo 4
A equação diferencial que descreve o movimento vertical (sem amortecimento) é
onde
é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio,
é a massa e
a constante da mola. Substituindo
e
,
Isto é uma equação harmônica simples com frequência angular
tal que
. Então
Passo 5
A solução geral da equação
é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui
, então
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais. Tomamos para cima como sentido positivo; então o deslocamento inicial
pé acima do equilíbrio dá
A velocidade é a derivada:
Em
:
Passo 7
Com
e
a solução particular é
A amplitude
de um movimento desse tipo (combinação de cosseno e seno) é dada por
Isto vem de escrever
como
. Calculando
A unidade é pés, logo a amplitude é
pés (aprox.
pés).
Passo 8
O período
é o tempo de um ciclo completo e está relacionado com
por
Como
,
Passo 9
O número de ciclos completos em um tempo
é
. Para
s e
,
Ou seja, a massa completará
ciclos inteiros em
segundos.
Resposta
Amplitude:
pés
Período: segundos
Ciclos completos em s:
Período:
Ciclos completos em